- •Линейные пространства
- •§ 1. Понятие линейного пространства
- •§2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства
- •§3. Ранг и базис системы векторов
- •Базис и размерность пространства
- •Координаты векторов
- •Координаты векторов
- •Изменение координат вектора при изменении базиса
§3. Ранг и базис системы векторов
Пусть дана система m векторов линейного пространства 1 =( 11, 12, … 1n),
2 =( 21, 22, … 2n), m =( m1, m2, … mm).
Определение. Базисом системы векторов называется такая ее подсистема, которая обладает следующими свойствами:
1) эта подсистема линейно независима;
2) любой вектор всей системы является линейной комбинацией векторов указанной подсистемы.
Из координат векторов составим матрицу:
По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.
Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:
множество столбцов из элементов, являющихся вещественными числами ;
множество многочленов степени не выше с вещественными коэффициентами;
множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;
множество функций непрерывных на некотором отрезке .
В примерах 2-4 нулевым вектором является многочлен или функция тождественно равная нулю, то есть равная нулю при всех значениях аргумента. Проверку того, что указанные множества являются линейными пространствами, предоставляем читателю.
Если в примерах 1-3 слово "вещественными" заменить на "комплексными", то получим примеры комплексных линейных пространств.
Пример 18.1 Рассмотрим еще один пример линейного пространства. Пусть имеется однородная система линейных уравнений, которую запишем в матричном виде , где -- матрица системы, а -- столбец неизвестных. В силу предложения 15.3 столбцы-решения системы можно складывать и умножать на число. При этом будут получаться снова решения этой системы. Значит, на множестве решений определены операции сложения и умножения на число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют требованиям из определения линейного пространства. Итак, множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством. Если матрица имеет вещественные элементы, то и пространство будет вещественным, если комплексные -- то и пространство будет комплексным.
Наверх: Линейные пространства Назад: Линейные пространства
Базис и размерность пространства
Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.
На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.
Определение 18.2 Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.
В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.
Пример 18.2 Пусть -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.
Предположим противное. Пусть векторы образуют в этом пространстве базис.
Каждый вектор пространства -- это многочлен. Пусть
|
|
|
|
|
|
|
|
Из степеней многочленов выберем наибольшую и обозначим ее буквой . Возьмем многочлен . Так как и векторы образуют базис, то , где -- вещественные числа. Следовательно, является суммой многочленов степеней меньших, чем , и поэтому его степень должна быть меньше, чем . С другой стороны, по определению, многочлен имеет степень . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.
Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].
Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.
Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.
Предложение 18.1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность .
Доказательство. Возьмем систему векторов
Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:
Преобразуем левую часть:
Следовательно,
откуда , , . Итак, система векторов -- линейно независима.
Пусть -- произвольный вектор пространства, Очевидно, что
Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.
Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается .
Предложение 18.2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность .
Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается .
Пример 18.3 Пространство решений однородной системы линейных уравнений имеет базис из решений, где -- число неизвестных, а -- ранг матрицы . Этим базисом служит фундаментальная система решений (см. определение 15.5 и теорему 15.3).