7.1 Показатель колебательности

Построение границы области заданного запаса устойчивости по частотному показателю колебательности М может осуществляться как по расположению в комплексной плоскости КЧХ разомкнутого контура относительно точки -1, j0, так и непосредственно — построением графика модуля КЧХ замкнутого контура.

ПИ-регулятор имеет два параметра настройки. Соответственно несколько усложняется процесс построения границы области требуемого запаса устойчивости:

1) Строится КЧХ объекта в пределах третьего квадранта комплексной плоскости.

2) Задается некоторое значение постоянной времени интегрирования регуля­тора Т_и и строится КЧХ разомкнутого контура для единичного значения коэффи­циента передачи регулятора к_п = 1.

3) Строится окружность с центром на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии u от начала координат с радиусом, определяемым формулами и

(72)

причем координата центра и подбирается таким образом, чтобы окружность каса­лась КЧХ разомкнутого контура; такая операция легко выполняется на экране дисплея ПЭВМ.

4) Для того чтобы центр этой окружности занял надлежащее положение, и она стала M-окружностью, значение коэффициента передачи регулятора должно быть вычислено по формуле.

(73)

Поиск предельного значения к_п при заданном Т_и можно осуществлять также, ориентируясь непосредственно на график АЧХ замкнутою контура, резонансный пик которого должен принять заданное значение.

Пример 1. На рис 18,а показан расчет предельного коэффициента передачи ПИ-регулятора для объекта с передаточной функцией для М=1,55 и значения постоянной времени интег­рирования Т_и=4. Вначале строится КЧХ разомкнутого контура для к_п=1, после чего подбором u находится координата центра окружности , при которой происходит касание окружно­сти с КЧХ. Результат расчета предельного значения коэффициента передачи по формуле (73): к_п=2,635. На рис. 18,б показана также АЧХ замкнутого контура.

Подобные расчеты выполняются последовательно для ряда значений постоянной времени интегрирования, после чего выбирается оптимальное значение, соответствующее минимуму принятого критерия. При необходимости, по полученным данным может быть построена грани­ца требуемого запаса устойчивости в плоскости параметров настройки регулятора.

Рисунок 18 – Расчет максимально допустимого значения коэффициента передачи ПИД-регулятора при ограничении на частотный показатель колебательности

Если критерием оптимальности принят линейный интегральный показатель, расчет (как это было сделано и при использовании корневого показателя колебательности) может быть выполнен без построения границы области задан­ною запаса устойчивости, вместо нее строится график вспомогательной функции, определяемой формулой:

(74)

Первый положительный максимум этой функции определяет максимум отно­шения к_п/Т_и, а частота, при которой он имеет место, — резонансную частоту контура. После нахождения положения максимума вспомогательной функции оп­тимальное значение коэффициента передачи и постоянной интегрирования регу­лятора вычисляют но формулам:

(75)

В (74) и (75) обозначено: ( — частота максимума вспомогательной функ­ции, совпадающая с частотой резонанса системы при оптимальной ее настройке; — вспомогательная функция и ее максимальное значение; — АЧХ и ФЧХ объекта и их значения при частоте макси­мума вспомогательной функции.

Формулы (74), (75) могут быть получены из графического построения КЧХ разомкнутого контура. Взаимное расположение КЧХ объекта и разомкнутого контура при оптимуме настройки регулятора приобретает вид, представленный на рис. 19. Из рассмотрения прямоугольною треугольника ОАС следует:

где

т.е. эти формулы могут быть переписаны следующим образом:

где

Для поиска резонансной частоты следует положить F функцией частоты [эта функция определяется формулой (74)] и определить значение частоты, при кото­рой вспомогательная функция достигнет максимума. Из второго равенства после этого находится оптимальное значение коэффициента передачи, а затем и оптимальное значение постоянной интегрирования.

Рисунок 19 – К расчету параметров ПИ-регулятора по вспомогательной функции