Лекция 10. Применение уравнения Шредингера
для анализа состояний квантовых систем
10.1. Микрочастица в одномерной "потенциальной яме"
Примером движения электрона в "потенциальной яме" является движение свободных (коллективизированных) электронов внутри металла. В классической электродинамике (см. "Основы электродинамики". Лекция 8) считалось, что вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, а внутри – отрицательна и численно равна работе выхода ( ). Иными словами, движение электронов ограничено потенциальным барьером прямоугольной формы с плоским дном.
Д ано: микрочастица (электрон) находится в "потенциальной яме" глубиной - и шириной - , т. е. в силовом поле :
при 0 < < ,
при 0 < и > .
Найти: вид волновой функции и собственные значения энер –
гии.
Поскольку силовое поле не за –
висит от времени, применим амплитудное уравнение Шредингера
,
тогда в интервале 0 < < , т. е. в "потенциальной яме" функция , являющаяся решением данного уравнения , а вне ямы: .
Используем граничные условия. Поскольку функция должна удовлетворять условию непрерывности, т. е. микрочастица не может находиться вне ямы (в этом случае вероятность равна нулю), то
В области 0 < x < , т. е. в яме: и амплитудное уравнение имеет вид
где обозначено .
Решением данного дифференциального уравнения будут функции: или .
Удобнее выбрать и использовать второй вид решения (через sin), тогда из граничных условий:
следует, что .
Здесь , т. е. , но . Это возможно, если = 0.
Из аналогично . Так как функция непрерывна, то = 0 и , причем , тогда и , где = 1,2 3,4… - главное квантовое число. Отметим, что при = 0 , что физически невозможно, так как микрочастица нигде не находится (вероятность равна нулю).
Сравнивая полученные результаты
или .
Данное соотношение - это совокупность собственных значений энергии, при которых решения амплитудного уравнения Шредингера будут иметь физический смысл.
Анализ:
1) Микрочастица (электрон) в "потенциальной яме" обладает дискретными значениями энергии, зависящими от величины главного квантового числа ( ), массы частицы ( ) и размера "ямы" – ( ). Здесь - собственные значения энергии.
2) Значение - при = 1 - называется основным, остальные - возбужденными. Так как = 1, 2, 3, 4, … , то для микрочастицы в потенциальной яме не равна нулю. Это же следует из волновой природы микрочастицы и соотношения неопределенностей:
. При и с учетом
.
Данное выражение с точностью до 2 совпадает с полученным (см. выше).
3) Из решения дифференциального уравнения следует схема энергетических уровней электрона в "потенциальной яме" (см. рисунок) .
4 ) Вычислим "расстояние" между соседни-
ми уровнями, т. е. . Тогда
.
Частные случаи:
а) Если = 10-26 кг и 10-1 м ( модель молекул идеального газа ), то расчет дает [эВ]. Из этого следует, что энергетические уровни молекулы (атома) идеального газа расположены "густо", квантование энергии атома существует, но не сказывается и спектр энергий воспринимается как сплошной.
б) Если = 10-30 кг 10-1 м (модель "свободных электронов"), то [эВ], т. е. существенной разницы с предыдущим примером нет.
в) Если = 10-30 кг 10-10 м ( - модель Томпсона), то [эВ] – дискретность уровней энергии электрона в атоме становится заметной.
5) Найдем вид функции . Так как , где - главное квантовое число, то - собственная функция и
. Используем условие нормировки
.
После подстановки
или .
Отсюда , тогда
, где = 1, 2, 3, 4 . . .