Глава 2. Теорема сложения и умножения вероятностей

§1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящие в появлении события А, или событии В, или обоих этих событий.

Пример. Если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А + В – попадание при первом выстреле, или при втором выстреле, или в обоих выстрелах.

Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких парно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n).

Пример. В урне 20 шаров: 8 красных, 6 синих, 6 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного Р(А) = 8/20 = 2/5, синего Р(В) = 6/20 = 3/10. События А и В несовместимы, по теореме сложения

Р(А + В) = 2/5 + 3/10 = 7/10.

Пример. В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 руб, на 10 билетов – выигрыш по 100 руб, на 80 билетов – 20 руб, на 100 билетов – 8 руб, остальные невыигрышные. Найти вероятность выигрыша не менее 20 руб при покупке 1 билета.

Решение. Событие А– выиграть не менее 20 руб. СобытиеAможет осуществиться, если наступит одно из несовместных событий:А₁ – выигрыш 20 руб,А₂ – 100 руб,А₃ – 500 руб. События несовместимы, следовательно,А=А₁ +А₂+А₃. По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р(А) =Р(А₁) +Р(А₂) +Р(А₃) = 50/1000 + 10/1000 + 1/1000 = 0,061.

Теорема. Сумма вероятностей событийА₁,А₂, … ,А_nобразующих полную группу, равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n) = 1.

Пример. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,15, во вторую – 0,23, в третью – 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение. Событие А– промах, противоположное событиеĀ– попадание.

Событие Āможет осуществиться, если наступит одно из несовместных событий:А₁ – попадание в первую зону,А₂ – во вторую,А₃ – в третью. События несовместимы, следовательноĀ=А₁ +А₂+А₃. По теореме сложения:

Р(Ā) = 0,15 + 0,23 + 0,17 = 0,55.

Событие АиĀобразуют полную группу, следовательно,Р(А) = 1 –Р(Ā) = 0,45.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(Ā) = 1.

§2. Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий АиВназывают событиеАВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Пример. Если А– деталь годная,В– деталь стальная, тоАВ– деталь годная и стальная.

Произведением нескольких событийназывают событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример. Если А,ВиС– появление ''герба'' в первом, во втором и третьем бросаниях монеты, тоАВС– выпадение ''герба'' во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью Р_А(В)называют вероятность событияВ, вычисленную в предположении, что событиеАуже наступило и выражается по формуле

Р_А(В) = Р(АВ)/Р(А).

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(AB) = Р(А)Р_А(В).

Следствие.Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А₁А₂…А_n) = Р(А₁)Р_А1(А₂)Р _А1А2(А₃)…Р_{А1А2…Аn-1}(А_n).

Для трех событий Р(АВС) =Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С). Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым

Р(АВС) = Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С) = Р(B)Р_B(A)Р_ВA(С) = Р(C)Р_C(В)Р_CВ(A).

Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Событие А₁– извлечение белого шара при первом испытании,А₂– извлечение белого шара при втором испытании. Эти события совместны, следовательно извлечение двух белых шаровА=А₁А₂. Всего в урне 5 шаров. Вероятность извлечение белого шара при первом испытании Р(А₁) = 2/5, вероятность извлечение белого шара при втором испытании при условии, что при первом испытании был извлечен белый шарР_А1(А₂) = 1/4. По теореме умножения совместных событийР(А) =Р(А₁А₂) =Р(А₁)Р_А1(А₂) = (2/5)(1/4) = 0,1.