- •Лекція № 15. Поверхні іі порядку. Циліндричні і конічні поверхні. Прямолінійні твірні поверхонь іі порядку.
- •Циліндричні поверхні
- •Приклади.
- •Конічні поверхні
- •Прямолінійні твірні на поверхні однопорожнинного гіперболоїда
- •1. Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить одна і тільки одна твірна з кожної сім'ї.
- •2. Будь-які дві твірні однієї сім'ї не перетинаються і не паралельні, тобто є мимобіжними.
- •3. Довільні дві твірні різних сімей перетинаються або паралельні.
- •Прямолінійні твірні гіперболічного параболоїда
Змістовий модуль 6. Поверхні другого порядку. Загальна теорія поверхонь другого порядку. Геометричні перетворення простору.
Лекція № 15. Поверхні іі порядку. Циліндричні і конічні поверхні. Прямолінійні твірні поверхонь іі порядку.
Циліндричні поверхні
Означення 4.1. Поверхня, утворена внаслідок руху прямої, яка перетинає задану криву і залишається паралельною даній прямій, називається циліндричною поверхнею.
Прямі, які повністю лежать на цій поверхні і паралельні заданій прямій, називаються твірними циліндричної поверхні, а крива L, яку перетинають ці твірні, називається напрямною цієї поверхні (рис. 7).
П рипустимо, що напрямна крива циліндричної поверхні розміщена в деякій площині, а твірні циліндричної поверхні перпендикулярні до цієї площини. Введемо прямокутну систему координат так, щоб напрямна крива L містилась у площині ОХY, а твірні були паралельні до осі 0Z (рис. 8)
Рис. 7
Припустимо, що крива L у плоскій системі координат ОХY задана рівнянням
F(х; y) = 0. (9)
Н ехай М(х; у; z) — довільна точка циліндричної поверхні, тоді її проекція на площину ОХY М'(х; у; 0) лежить на кривій L. Тому F(х; у) = 0. Отже, координати довільної точки М циліндричної поверхні задовольняють рівняння (9).
Якщо ж деяка точка М1(х1; у1; z1) не лежить на даній циліндричній поверхні, то її проекція на площину ОХY М1’(х1; у1, 0) не лежить на кривій L і, отже, F(х1; у1) ≠ 0.
Таким чином, рівняння (9) задовольняють координати довільної точки циліндричної поверхні і тільки вони, тому це рівняння буде рівнянням даної циліндричної поверхні.
Аналогічно встановлюємо, що коли напрямна крива задана рівнянням F(х; z) = 0 у площині ОХZ, то в просторовій системі координат це рівняння задає циліндричну поверхню, твірні якої паралельні до осі ОY.
Якщо ж крива задана рівнянням F(у; z} = 0 у площині ОYZ, то в просторовій системі координат це рівняння буде рівнянням циліндричної поверхні, твірні якої паралельні до осі ОХ.
У результаті можна дійти такого висновку: якщо в рівнянні поверхні відсутня одна зі змінних, то ця поверхня є циліндром., твірні якого паралельні до тієї координатної осі, змінна якої відсутня в даному рівнянні.
Приклади.
1. Еліптичний циліндр (рис. 9).
Його рівняння
Н апрямною є еліпс з півосями а і b.
2. Гіперболічний циліндр (рис. 10).
Рівняння
Напрямною є гіпербола з дійсною піввіссю a і уявною піввіссю b.
Рис. 9
3. Параболічний циліндр (рис. 11).
Його рівняння у2 = 2рх.
Напрямною є парабола.
На прикладі покажемо, як можна знайти рівняння циліндричної поверхні, твірні якої мають довільний напрям.
Приклад. Скласти рівняння циліндричної поверхні, напрямна якої лежить в площині OXY і має рівняння х2 + 2ху + 3у2 - х = 0, а твірні паралельні вектору р(1; 0; 1).
Розв'язання. Рівняння напрямної L у просторі матиме вигляд:
(10)
Рис. 10
Н ехай М (х; у; z) - довільна точка циліндричної поверхні. Проведемо через неї твірну MM', де М' точка перетину цієї твірної з площиною OXY, а отже, - і з напрямною L (рис. 12). Нехай координати точки М'(х';у'; 0). Оскільки М' є L, то її координати задовольняють рівняння (10), тому
х ΄2 + 2х΄у΄ + Зy΄2 - х΄ = 0. (11)
Рис.11
Запишемо параметричні рівняння твірної MM', заданої точкою М'(х', у', 0) і напрямним вектором P(1;0;1)
(12)
Змінні (х; у; z) в цьому рівнянні є координатами точок твірної, а отже, й координатами точок циліндричної поверхні. Координати точки М'(х'; у'; 0) задовольняють рівняння (11) і (12).
Тому, виключаючи х', у', z' з рівнянь (11) і (12), дістаємо співвідношення між координатами точок циліндра, тобто рівняння циліндра.
Рис.12 Маємо:
Отже, рівняння даної циліндричної поверхні. (х – z)2+ 2(х - z)y + Зу2 - (х - z) = 0.