- •Означення та канонічне рівняння еліпса
- •Дослідження властивостей еліпса за його канонічним рівнинним
- •Директриси еліпса. Теорема про фокальні властивості еліпса
- •Параметричні рівняння еліпса
- •Побудова точок еліпса за допомогою циркуля та лінійки
- •Дотична до еліпса.
- •Оптичні властивості еліпса Теорема про оптичну властивість еліпса.
- •Означення та канонічне рівняння гіперболи
- •Дослідження властивостей гіперболи за її канонічним рівнянням
- •Взаємне розміщення гіперболи і прямої, яка проходить через її центр
- •Асимптоти гіперболи
- •Ексцентриситет гіперболи.
- •Вираз фокальних радіусів точки гіперболи
- •Директриса гіперболи. Теорема про фокальні властивості гіперболи
- •Побудова точок гіперболи за допомогою циркуля та лінійки
- •Дотична до гіперболи
- •Оптичні властивості гіперболи. Теорема про оптичну властивість гіперболи.
- •Означення та канонічне рівняння параболи
- •Властивості параболи
- •Дотична до параболи
- •Оптична властивість параболи
- •Механічний спосіб побудови параболи та побудова точок параболи за допомогою циркуля і лінійки
Змістовий модуль 5. Криві другого порядку. Загальна теорія кривих другого порядку.
Лекція № 12. Еліпс, гіпербола, парабола, їх канонічні рівняння і властивості.
Означення та канонічне рівняння еліпса
Означення12.1.1. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох фіксованих точок (фокусів) є величиною сталою і більшою відстані між фокусами.
Я кщо і є фокусами еліпса , то відстань між ними називається фокусною відстанню.
Якщо М – точка еліпса , то відстані
називаються фокальними радіусами точки М.
Згідно з означенням еліпса:
Мал. 12.1.1.
Причому .
Вивчимо еліпс методом координат. З цією метою виберемо прямокутну Декартові систему координат так, щоб фокуси містились на осі і були симетричними відносно початку координат (див. мал. 12.1.1.). Тоді Якщо - довільна точка еліпса, то що в координатній формі записується:
,
Поклавши отримаємо:
Поділивши обидві частини рівності на (оскільки то ), отримаємо:
(1)
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпса.
Задача 1 Вершина трикутника, що має нерухому основу, переміщується так, що периметр трикутника зберігає постійну величину. Знайти траєкторію вершини трикутника, при умові, що основа має довжину 24см, а периметр дорівнює 50см.
Розв’язання. Нехай А і В – нерухомі, а М – рухома вершини трикутника. За умовою і
звідки .
Отже, траєкторію точки М є геометричне місце точок, сума відстаней яких від точок А і В є величина стала і більша відстані між цими точками (26>24), тобто є еліпсом з довжиною великої осі фокусною відстанню і довжиною малої осі
Задача 2. Еліпс проходить через точки і Скласти рівняння еліпса, якщо відомо, що його осі лежать на осях координат.
Розв’язання. Оскільки осі еліпса лежать на осях координат, то його рівняння має вигляд:
Покладемо і розв’яжемо систему рівнянь:
Отже, і канонічне рівняння еліпса має вигляд:
Відповідь:
Задача 3. Дано рівняння еліпса Обчислити довжини його осей, координати фокусів.
Розв’язання. Перетворимо рівняння еліпса поділивши обидві його частини на 4225;
В отриманому канонічному рівнянні бачимо, що - велика піввісь, а - мала піввісь еліпса. Із основного співвідношення параметрами еліпса отримуємо
Отже, фокуси і мають координати (12;0) і (-12;0).
Відповідь: 2а=26 – довжина великої осі;
2b=10 – довжина малої осі;
Механічний спосіб побудови еліпса
Означення еліпса дозволяє вказати простий спосіб його побудови. Зафіксуємо дві точки , і , — фокуси еліпса. Закріпимо в цих точках нитку довжиною 2а більшою, ніж відстань між ними. Якщо відтягнути нитку олівцем, і рухати його, тримаючи весь час нитку натягнутою, то можна накреслити еліпс з даними фокусами , і F2 та довжиною великої осі 2а.
Дослідження властивостей еліпса за його канонічним рівнинним
Використовуючи канонічне рівняння еліпса (12.1.1), вивчимо мої о найпростіші властивості.
Властивість 1. Еліпс є алгебраїчною лінією 2-пі порядку.
Властивість 2. Еліпс є обмеженою фігурою.
З канонічного рівняння еліпса маємо
Звідки бачимо, що еліпс належить прямокутнику з вершинами Mt(a;b),
Властивість 3. Еліпс мас дві взаємно перпендикулярні осі симетрії.
Очевидно, що коли точка належить еліпсу у, то й М'(х,-у) , тобто еліпс у симетричний відносно осі Ох. Аналогічно, якщо
то й
тобто еліпс у симетричний відносно осі Оу.
Властивість 4. Еліпс — центрально-симетрична фігура.
Оскільки
М(х.у) є у => М'(-х,-у) ,
то еліпс, заданий рівнянням (12.1.1), симетричний відносно початку координат.
Зауваження. Властивість 4 є наслідком властивості 3, оскільки фігура, що мас дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, є симетричною відносно точки їх перетину.
Вершинами еліпса називаються точки перетину еліпса з його осями симетрії.
Властивість 5. Вершинами еліпса (12.1.1) Є точки , , В,(0;Ь), В2(0-Ь) (див. мал. 12.1.1).
Число 2а є довжиною відрізка (великої осі еліпса), число довжиною відрізка В{В2 (малої осі еліпса).
Властивість 6. Еліпс є неперервною замкненою кривою.
Канонічне рівняння еліпса можна переписати у вигляді:
Звідки бачимо, що малим приростам х відповідають малі прирости у.
В першій чверті еліпс є неперервною лінією, що з'єднує точки і . Оскільки він симетричний відносно осей Ох та Оу, то частинка еліпса, що міститься в четвертій чверті, конгруентна частинці в першій чверті і з'єднує точки і. Аналогічно отримуємо, що еліпс складається з чотирьох конгруентних частинок, які з'єднують точки і , і , В2 і А2, і відповідно.
Задача 1. На еліпсі знайти точки, розміщені на
відстані 5 одиниць від його малої осі.
Розв'язання. Даний еліпс заданий канонічним рівнянням, а отже, симетричний відносно обох координатних осей. Оскільки 24<30, то велика вісь і фокуси даного еліпса знаходяться на осі Оу, а мала вісь на осі Ох.
Якщо М(х;у) — шукана точка, то
тобто
Знайдемо
Відповідь: (2;5), (-2;5), (-2;-5), (2;-5).
Задача 2. Вказати осі симетрії еліпса х2+3у2+ 4х-18 + 4 =0.
Розв’язання. Перетворимо рівняння еліпса:
Заміна х+2 на , у-3 на у', яка рівносильна перетворенню координат перенесенням початку в точку ;
Приводить до рівняння:
В новій системі координат еліпс симетричний відносно координатних осей, які в старій системі координат задаються рівняннями:
х = -2, у=3.
Відповідь: х=-2, у = 3 – осі симетрії даного еліпса.
Зауваження. Якщо центр еліпса знаходиться в точці С(.x0; y0), а велика і мала осі паралельні осям координат, то його рівняння в прямокутній декартовій системі координат має вид:
(12.3.1)
Ексцентриситет еліпса. Вираз фокальних радіусів точки еліпса
Ексцентриситетом еліпса називається число , яке дорівнює відношенню фокусної відстані до довжини великої осі еліпса:
Оскільки 2с < 2а, то ексцентриситет еліпса задовольняє нерівності
причому 0, коли 2с = 0, тобто коли і еліпс є колом.
Ексцентриситет еліпса є характеристикою форми кривої. Справді,
,
Якщо а – фіксоване, а , то , і навпаки, якщо , то .
Отже, чим менший ексцентриситет еліпса, тим більше еліпс «схожий» на коло (відношення осей ближче до 1). І навпаки, чим більший ексцентриситет, тим еліпс «витягнуті ший» (менше відношення осей).
Задача 1. Меридіан земної кулі має форму еліпса, відношення
осей якого дорівнює . Визначити ексцентриситет земного меридіана.
Розв’язання:
.
Відповідь:
Лема 1. Фокальні радіуси і точки еліпса з ексцентриситетом виражаються наступним чином:
( 12.4.2)
Доведення. Згідно з означенням еліпса
Виразимо різницю:
.
Розглянемо систему рівнянь:
Звідки
і
Що й вимагалось довести.
Задача 2. На еліпсі знайти точку, відстань якої від правого фокуса в чотири рази більше відстані від лівого фокуса.
Розв'язання. Оскільки за умовою а=10, b=6, то ексцентриситет
Нехай М(х,у) — шукана точка — її фокальні радіуси. За умовою Використовуючи вирази фокальних радіусів (12.4.2), маємо:
Звідки . А отже,
Відповідь: