- •3.В парку приймання чотири колії. Кількість колій, зайнятих в даний момент поїздами, які прибувають, є випадкова величина х,яка розподілена за законом:
- •4. Ймовірності появи в поїзді вагонів: на вантажний двір , на контейнерну площадку , на під’їзну колію . Визначити ймовірність появи в поїзді вагонів на:
- •5. Дослідити ряд на збіжність
- •6. Виконати дії над матрицями:
- •9. Знайти невизначений інтеграл
- •10.Знайти екстремум функції, інтервали зростання і спадання:
- •11. Знайти границю функції
- •12.Знайти похідну функції
- •13. Знайти загальний розв’язок
- •14.Знайти частинні похідні функції
- •15. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння
- •16. Марковський ланцюг задано генератором .Знайти фінальний розподіл ймовірностей станів.
- •21.Знайти границю функції .
- •22.Розв’язати однорідну систему рівнянь:
- •23. Знайти об’єм піраміди abcd,якщо а(1,3,-2), в(3,-2,1), с(1,0,-4), d(1,0,-3)
- •25.Знайти розв’язок задачі Коші
- •26.Знайти числові характеристики випадкової величини х,яка рівномірно розподілена в інтервалі (3,9)
- •27.Знайти площу фігури, яка обмежена лініями , .
- •28.Дано точки а(-1;5;0),в(2;α;4),с(1;0;-4).При якому значенні α вектори ав та ас перпендикулярні?
- •29.Дано точки а(-1;5),в(2;4),с(0;-4).Записати рівняння прямої, яка проходить через точку а перпендикулярно вс.
- •30. Знайти фінальний розподіл
1.У подачі порожніх вагонів з імовірністю Р=0,2 кожний з них вимагає очищення. Знайти ймовірність того, що в подачі з 4-х вагонів очищення вимагатимуть:
а)не більше двох вагонів;
б)хоча б один вагон.
Розв’язання:
Якщо проводяться випробування, при яких появи події А в кожному випробуванні не залежить від початкових інших випробувань,то такі випробування називаються незалежними щодо події.Так як n мало, то застосовуємо формулу Бернулі. Ймовірність того, що в n незалежних випробувань, в кожному з котрих ймовірність появи події дорівнює p(0<p<1), подія наступить рівно k раз і дорівнює qn-k .
а) не більш 2-х, чи 0, чи 1, чи 2: Р(0 к 2) = Р4 (0) + Р4 (1) + P4 (2) = 0,4096 +0, 4096+0,1536 =0,9728,
P1 = Р4 (0) = C04 Р0 g4 = 11 (0.8)4 = 0,4096,
P2 = Р4 (1) = C 14 Р1 g3 = ,
P3 = Р4 (2) = C24 Р2 g2 =
б) хоча б 1 вагон: Р=1-Р4(0)=1-0,1096=0,5904.
2 . У вокзальному приміщенні знаходиться каса, яка продає квитки на транзитні поїзди за годину до відправлення поїзду. При відсутності квитків каса зачинена. Матриця перехідних ймовірностей марківського процесу в такій обслуговуючій системі має вигляд:
Знайти матрицю ймовірностей за два кроки.
Дано:
Розв’язання
Матриця ймовірностей переходу за два кроки дорівнює добуткові матриці ймовірностей за один крок на себе, тобто
Скориставшись формулою знаходимо:
Перемножив матриці відповідно знайдемо:
Відповідь:
3.В парку приймання чотири колії. Кількість колій, зайнятих в даний момент поїздами, які прибувають, є випадкова величина х,яка розподілена за законом:
Хі |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Рі |
0,25 |
0.20 |
0,05 |
0,3 |
0,2 |
Знайти середню кількість зайнятих колій М(Х)
Розв’язання:
Математичним сподіванням випадкової величини Х називається сума множення всіх її значень на відповідні ймовірності:
М(Х)=Мх=х1р1+х2р2+……+хnpn=
М(Х)= Мх=0*0,25+1*0,20+2*0,05+3*0,3+4*0,2=2
Висновок: середня кількість зайнятих колій дорівнює 2
4. Ймовірності появи в поїзді вагонів: на вантажний двір , на контейнерну площадку , на під’їзну колію . Визначити ймовірність появи в поїзді вагонів на:
а) всі три пункти;
б) на два пункти;
в) на один пункт;
г) хоча б на один із вантажних пунктів.
Розв’язання:
1)Знайдемо подію,яка полягає в ймовірністі появи в поїзді вагонів на всі три пункти:
А=А1А2А3.Тобто
Р=р1р2р3.Р=0,3*0,4*0,2=0,024
2) Ймовірність появи в поїзді вагонів на два пункти:
В= А1А2А3+А1 .
Р=р1р2q3+р1q2p3+q1 p2p3
P=0.3*0.4*0.2+0.3*(1-0.4)*0.2+(1-0.3)*0.4*0.2=0.116
3) Ймовірність появи в поїзді вагонів на один пункт:
C= А1 + A2 .
P= р1q2q3+q1p2q3+q1 q2p3
P=0.3*(1-0.4)*(1-0.2)+(1-0.3)*0.4*(1-0.2)+(1-0.3)*(1-0.4)*0.2=0.452
4) Ймовірність появи в поїзді вагонів хоча б на один із вантажних пунктів:
D=1-
P=1-q1q2q3
P=1-(1-0.3)*(1-0.4)*(1-0.2)=0,664
5. Дослідити ряд на збіжність
Розв’язання:
Поданий ряд –знакододатнім ряд. За ознакою Даламбера маємо: ,якщо -ряд збігається, якщо - ряд розбігається, якщо подана ознака не дає відповіді
Відповідь: ряд розбігається, так як
6. Виконати дії над матрицями:
Розв язання:
1.
Множити можна матриці ,якщо число стовпців матриці А = числу рядків матриці В. Так як ця умова виконується, то використовуємо правило множення.( строку на стовбець)
= =
2. .Множення матриці на число:
= =
Відповідь:
7.У парку приймання 3 колії.Ймовірність зайнятості кожної з них поїздами,які прибувають,р=0,8.Знайти розподіл числа колій,зайнятих поїздами,які прибувають.
По формулі Бернулі визначаємо імовірність появи події в n іспитах = k раз.
Т.я. у ПП 3 колій, то нехай випадкові величини приймають значення 0,1,2,3. Нехай k - кількість зайнятих колій, тоді закон розподіли буде представлений
к |
0 |
1 |
2 |
3 |
р |
|
|
|
|
P0(0)=
P 3(3)= .Так як р=0,8=8/10=4/5 q=1-4/5=1/5
P3(0)= =
P3(1)= =
P3(2)= =
P3(3)= =
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
p |
|
|
|
|
Перевіремо: + + + =
8. Розв’язати систему рівнянь:
Розв’яжемо систему рівнянь за формулами Крамера:
Відповідь: