[Править]Условие совместности

Упомянутое выше условие   для всех   может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

17. Метод Эйлера

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция   определена на некоторой области  . Решение разыскивается на интервале  . На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах  , которое обозначим через   определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

[Править]Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция   непрерывна в   и непрерывно дифференцируема по переменной   в  , то имеет место следующая оценка погрешности

где   — средний шаг, то есть существует   такая, что  .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

[Править]Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

БИЛЕТ 10___________________________

18. Метод прогонки решения слАу

Метод прогонки или алгоритм Томаса (англ. Thomas algorithm) используется для решения систем линейных уравнений вида  , где A — трёхдиагональная матрица.

Система уравнений   равносильна соотношению

Метод прогонки основывается на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

 где 

Используя это соотношение, выразим x_i-1 и x_i через x_i+1 и подставим в уравнение (1):

,

где F_i — правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Отсюда следует:

Из первого уравнения получим:

После нахождения прогоночных коэффициентов   и  , используя уравнение (2), получим решение системы. При этом,

     

Другим способом объяснения существа метода прогонки, более близким к терминологии конечно-разностных методов и объясняющим происхождение его названия, является следующий: преобразуем уравнение (1) к эквивалентному ему уравнению

c надиагональной матрицей

.

Вычисления проводятся в два этапа. На первом этапе вычисляются компоненты матрицы   и вектора  , начиная с     до  

и

На втором этапе, для   вычисляется решение:

Такая схема вычисления объясняет также английский термин этого метода «shuttle».

Для применимости формул метода прогонки достаточно свойства строгого диагонального преобладания у матрицы A.