- •Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет н.П.Серебрянникова б.Е.Соботковский в.В.Морозов обработка результатов эксперимента
- •1. Основные понятия. Термины и определения
- •1.1. Измерение. Классификация измерений
- •1.2. Классификация погрешностей измерения
- •2. Обработка данных прямых измерений
- •2.1. Случайное событие. Вероятность.
- •2.2. Случайная величина. Выборка и генеральная совокупность.
- •2.3. Гистограмма. Эмпирическое распределение результатов наблюдений
- •2.4. Нормальное или гауссово распределение
- •2.5. Результат измерения. Доверительный интервал.
- •2.6. Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение
- •2.7. Дисперсия суммы случайных величин. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение среднего
- •2.8. Выявление грубых погрешностей
- •2.9. Систематическая погрешность. Погрешность средств измерений
- •2.10. Расчет границы полосы погрешностей прибора. Класс точности прибора
- •2.11. Сложение случайной и приборной погрешностей. Полная погрешность измерения.
- •2.13. Запись и округление результата измерения
- •2.13. Алгоритм обработки данных прямых измерений по выборке
- •3. Погрешности косвенных измерений
- •3.1. Метод переноса погрешностей
- •3.2. Выборочный метод
- •3.4. Алгоритм обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей
- •3.3. Алгоритм обработки данных косвенных измерений выборочным методом Косвенные измерения
- •1. Выборочный метод (метод выборки)
- •Приложение
3.2. Выборочный метод
Выборочный метод расчета погрешностей применяется в тех случаях, когда значения каждой из совместно измеренных величин ,,... по отдельности не образуют выборок, но значения функцииобразуют выборку, то есть величинаfявляется некоторой физической константой, такой как ускорение свободного падения, вязкость жидкости, сопротивление проводника и т.п. Штрих у аргументов означает, что они содержат неизвестные постоянные приборные погрешности:,,.
Обработав полученную выборку значений функции с помощью стандартных приемов анализа данных прямых измерений, можно найти ее смещенное среднее значение и СКО среднего значения (либо размах выборки )
,, (3.2.1)
а затем вычислить ее случайную погрешность , либо.
Для определения приборной погрешности функции разложим i-ое смещенное значение функции
в ряд Тейлора в окрестности точки , координаты которой не зависят от приборных погрешностей:
(3.2.2)
где ,,,.
Ввиду малости приращений значения производных в точкеможно считать совпадающими с их значениями в экспериментальной точке. Смещенное среднее значение функции с учетом (2) будет равно
(3.2.3)
где – приборная погрешность функции,– частные приборные погрешности аргументов функции.
Согласно (3) истинное среднее значение функции будет равно , где ввиду неизвестности величин и знаков приборных погрешностей,,, приборная погрешность функциитакже неизвестна. Поэтому заменим приборную погрешность функцииее верхней границей. Тогда
где – верхние границы частных приборных погрешностей аргументов, вычисленные в точке.
Выражение для верхней границы приборной погрешности функции функции можно также записать в виде, удобном в ряде приложений,
где ,,.
Истинное среднее функции можно записать как . Тогда результат косвенного измерения с учетом его случайной погрешности можно записать в виде
,
где – полная погрешность функции.
При практических расчетах штрихи у аргументов функции и самой функции опускают.
Выборочный метод допустимо использовать и в том случае, когда значения аргументов функции образуют выборки. Тем не менее, не рекомендуется применение выборочного метода к нахождению результата косвенного измерения в тех случаях, когда возможно применение метода переноса погрешностей в связи с тем, что в выборочном методе случайная погрешность функции зависит от приборных погрешностей ее аргументов, что приводит к неоправданному дополнительному увеличению погрешности функции. Действительно, случайная погрешность функции в выборочном методе рассчитывается через разности вида
в которых, ввиду большого диапазона изменения значений аргументов и.
Заметим в заключение, что в том случае, когда функция fесть физическая константа, значение которой находится через наборы совместно измеренных значений аргументов функции выборочным методом, ее значение всегда можно найти методом наименьших квадратов (МНК), который будет рассмотрен далее.
3.4. Алгоритм обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей
Используется в случае, когда каждое из значений аргументов функции x,y,zизмеряется независимо от остальных в своей серии опытов, то есть образуют выборки (близки друг к другу). Число опытов в сериях не обязано быть одинаковым, требуется только неизменность условий для прямо измеряемой величины в своей серии, неизменность условий дляfво всех серияхи взаимная независимость всех опытов.
Таблица эксперимента в этом случае имеет вид
1. По формулам прямых измерений определяем величины ,x, θx;,y, θy;,z, θz.
2. Рассчитываем среднее значение функции = f(,,),
3. Вычисляем частные производные от функции или для легко логарифмируемой функцииf– от ее логарифмав точке.
4. Вычисляем случайную погрешность функции
(формула переноса погрешностей) или по эквивалентной формуле для легко логарифмируемой функции: .
5. Вычисляем верхнюю границу приборной погрешности функции или для легко логарифмируемой функции:
6. Рассчитываем полную погрешность функции
7. Записываем результат измерения и округляем его
xi |
|
|
|
|
|
x= | |||
yi |
|
|
|
|
|
y= | |||
x↑i |
|
|
|
|
|
= , R=x↑1-x↑N= | |||
Ui=(xi+1-xi) |
|
|
|
|
UP,NR= | ||||
xi= xi – |
|
|
|
|
|
xi=0 | |||
xi)2 |
|
|
|
|
|
xi)2= | |||
= , , ,
| |||||||||
y↑i |
|
|
|
|
|
= , R=y↑1-y↑N= | |||
Ui=(yi+1-yi) |
|
|
|
|
UP,N R = | ||||
yi= yi – |
|
|
|
|
|
yi=0 | |||
yi)2 |
|
|
|
|
|
yi)2= | |||
= , , ,
| |||||||||
= | |||||||||
|