5. Лабораторная работа №3

Исследование частотных характеристик

элементарных динамических звеньев

5.1. Цель выполнения лабораторной работы

1) Формирование знаний и умений определения частотных характеристик элементарных динамических звеньев;

2) Формирование опыта:

• построения и чтения структурных схем цифровых моделей;

• определения частотных характеристик элементарных динамических звеньев;

• оценки результатов измерений;

• самостоятельного составления схем для моделирования САР в программе «Electronics Workbench».

5.2. Краткие теоретические сведения

5.2.1. Комплексный коэффициент передачи

Рис.5.1

Рис.5.2

Динамическое звено или САР удобно характеризовать группой частотных характеристик.

Если на вход исследуемого линейного звена (рис.5.1) подать гармонический сигнал х(t) ( рис.5.2)

(5.1)

где Х_о=const  амплитуда входного сигнала, =2f  циклическая частота, f  частота колебаний¹,

т



о на его выходе будет наблюдаться также гармонический сигнал

(5.2)

,

где Y() и ()  соответственно амплитуда и фаза выходного сигнала являются функциями частоты.

Звено или САР передает гармонические сигналы на выход в зависимости от частоты. Частотную зависимость Y() при Х_о=const можно назвать амплитудночастотной характеристикой (АЧХ).

Частотная зависимость угла () соответствует зависимости задержки от частоты входного сигнала и называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Полное описание изменения амплитуды и фазы сигнала при прохождении через динамическое звено или САР дает комплексный коэффициент передачи, который определяется как отношение

(5.3)

.

Физически реализуемые сигналы х(t) и у(t) являются функциями, к которым можно применить преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях состояния САР (или динамического звена) входному х(t) и выходному у(t) соответствуют преобразования Лапласа X(P) и Y(P), где р=+j – комплексная переменная.

Передаточной функцией САР называется функция, определяемая по формуле

W(P)=Y(P)/X(P), (5.4)

где X(P) и Y(P) – преобразованные по Лапласу соответственно входной и выходной сигналы САР при нулевых начальных условиях..

Положим в (5.4), что действительная часть комплексной переменной р равна нулю: =0. Тогда p=j и из формулы (5.4) следует, что

(5.5)

.

Формула (5.5) дает описание амплитуднофазочастотной характеристики (АФЧХ) и она совпадает с выражением (5.3) для комплексного коэффициента передачи.

Произведем очевидные преобразования формулы (5.5):

(5.6)

.

(5.7)

В формулах (5.6) и (5.7) модуль комплексного коэффициента передачи W() является математическим описанием амплитудночастотной характистики, а аргумент ()  фазочастотной характеристики.

Частотные характеристики (графики) W() и () получают при изменении частоты  от нуля до бесконечности.

Заметим, что функции R() и I() являются аналитическими выражениями соответственно для действительной и мнимой частотных характеристик.

Таким образом, чтобы получить амплитудно и фазочастотные характеристики следует:

 подставить в выражение для передаточной функции вместо переменной р мнимую переменную j;

 представить комплексный коэффициент передачи в форме Эйлера;

 записать модуль АФЧХ как функцию частоты  это будет математическим выражением для АЧХ динамического звена;

 записать аргумент АФЧХ как функцию частоты  это будет математическим выражением ФЧХ динамического звена или САР;

 построить графики АЧХ и ФЧХ при изменении частоты  от 0 до .

Логарифмические частотные характеристики. Работа динамического звена или САР осуществляется в широком частотном диапазоне  частота входного сигнала может изменяться на несколько порядков. Динамический диапазон выходного сигнала также может изменяться в широких пределах,  от большого усиления амплитуды входного сигнала, до её глубокого подавления.

В связи с этим для получения наглядного и характерного изображения частотных характеристик во всем диапазоне рабочих частот и при всех изменениях коэффициента передачи применяется логарифмический масштаб.

Л

(5.8)

огарифмическая амплитудночастотная характеристика (ЛАЧХ) записывается в виде

.

При этом размерность L()  децибелы.

Построение графика функции L() выполняется с использованием логарифмического масштаба по частоте. Координатная сетка, используемая для построения ЛАЧХ, показана на рис.5.3. При этом следует обратить внимание, что по горизонтальной оси откладывается логарифм частоты, а записывается значение частоты. Равными масштабными отрезками являются отрезки, соответствующие декадному изменению частоты. Декадой называется изменение частоты в 10 раз. Для самостоятельного построения логарифмической частотной координаты необходимо:

 выбрать удобный для построения графиков масштабный отрезок длиной s мм;

Рис.5.3

 отложить на горизонтальной оси декады, каждая длиной s и оцифровать шкалу в зависимости от требуемого частотного диапазона, например 1, 10, 100, 1000 и т.д.;

 вычислить размеры отрезков логарифмического масштаба внутри декады по формуле:

s_m=s[lg(m)]; m=2,3,4,5,6,7,8,9; (5.9)

 отложить от начала масштабного отрезка отрезки s_m и оцифровать соответственно декаде, например для первой декады это будут числа 2, 3, … , 9; для второй декады – 20, 30, 40, …, 90 и т.д.

Построение логарифмической ФЧХ производится также в логарифмическом масштабе по частоте, но с сохранением линейного масштаба по фазе.

Амплитуднофазочастотная характеристика. Представление об изменении амплитуды и фазы выходного сигнала по сравнению с соответствующими параметрами сигнала на входе можно получить и без отдельного построения АЧХ или ФЧХ. Достаточно воспользоваться формулой (5.6) и построить график зависимости модуля W() и фазы () комплексного коэффициента передачи на комплексной плоскости в прямоугольных или полярных координатах.

Способ 1. 1) Провести две перпендикулярные прямые на плоскости и обозначить (рис.5.4):

 точку пересечения прямых точкой О  начало координат;

 горизонтальную ось R()  ось действительных чисел;

 вертикальную ось I()  ось мнимых чисел.

2) Последовательно задавая значения частоты _i 0_i <:

 вычислить по формуле (9) значения действительной R(_i)= R_i и мнимой I(_i)=I_i частотных характеристик;

Рис.5.4

 отложить на действительной R() и мнимой jI() осях комплексной плоскости (рис.5.4) числа R_i и I_i;

 поставить в соответствие числам R_i и I_i iю точку АФЧХ.

Множество полученных таким образом точек выстроятся в график, который является АФЧХ динамического звена или САР.

Рис.5.5

Способ 2. 1) Провести на плоскости горизонтальную прямую и отметить на ней точку О, которая является началом координат (рис.5.5).

2) Последовательно задавая значения частоты _i 0_i <:

 вычислить модуль комплексного коэффициента передачи W_i =W(_i);

 вычислить аргумент комплексного коэффициента передачи _i=(_i);

 из начала координат провести луч под углом _i к горизонтальной прямой, при этом следует учитывать, что отрицательный угол откладывается в направлении, совпадающем с ходом стрелки часов;

 выбрать масштаб m_l и отложить на проведенном отрезке длину r_i=m_lW_i.

Точка конца отрезка является одной из точек графика АФЧХ. Множество, полученных таким образом точек выстроятся также в график, который является АФЧХ динамического звена или САР.