85

Вступ

При розв’язуванні багатьох інженерно-технічних і наукових задач, які диктуються практичними потребами людини, приходять до розв’язування крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних, зокрема – для рівнянь математичної фізики.

На протязі багатьох поколінь встановлено, що саме диференціальні рівняння найбільш адекватно описують фізичні процеси в навколишньому світі.

Ще великий Ньютон в одному з своїх основних відкриттів, яке він засекретив, говорив: “Корисно розв’язувати диференціальні рівняння.”

Багато диференціальних рівнянь, як в частинних похідних, так і в звичайних, носять імена вчених, які або відкрили їх, або фундаментально займались вивченням їх розв’язків. Серед них такі, як:

• рівняння Лапласа і Пуассона, які описують потенціальні силові поля (електромагнітні, теплові, гідродинамічні та ін.);

• рівняння руху Ньютона;

• рівняння Максвелла, які описують електромагнітні поля;

• рівняння Шредінгера, яке описує квантовомеханічні явища;

• рівняння Буссінеска, Гордона та ін.

Ряд диференціальних рівнянь носять назву важливих фізичних процесів, які вони описують. Зокрема – це рівняння теплопровідності, рівняння пружності, рівняння коливання деякої матеріальної субстанції (струн, стержнів, мембран, акустичні та ін.).

В даний час інтенсивно розвивається новий напрям в прикладній математиці – математичне моделювання і комп’ютерне моделювання. Його розвиток диктується тим, що при побудові того чи іншого об’єкту із заданими параметрами функціонування, виникає проблема конструювання і перебору різних проектів, затрати на виготовлення яких можуть бути досить значними.

В зв’язку з цим роблять макети об’єктів, вдаються до імітаційного моделювання. Часом і те, і друге практично нездійсненні. З появою ЕОМ різні варіанти проекту чи явища можна “програвати” шляхом їх математичного моделювання (обчислювального експерименту). В основі обчислювального експерименту досить часто лежить розв’язування диференціальних рівнянь математичної моделі, які описують процес чисельними методами.

Відмітимо, що при цьому, як правило, для опису процесів в суцільних середовищах з тими чи іншими властивостями і характеристиками отримуємо математичні моделі у вигляді диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Особливості курсу

1. Для ЧММФ характерна множинність розв’язків, тобто можливість розв’язання одну і ту ж задачу різними методами.

2. Нові науково-природничі задачі, що виникають спонукають до переоцінки значень існуючих алгоритмів і призводить до створення нових.

Етапи розв’язку прикладної задачі на еом

1. Змістовна постановка задачі (формулюється зміст і мета задачі).

2. Формалізація об’єкта досліджень (побудова моделі задачі: математична, комп’ютерна, імітаційна).

3. Алгоритмізація задачі (розробка алгоритму її розв’язання; математична модель заміняється деякою дискретною моделлю для якої використовується ефективний алгоритм її розв’язування, що використовує деякий чисельний метод).

4. Програмування алгоритму.

5. Реалізація програми на ЕОМ.

6. Тестування програми на контрольному прикладі.

7. Проведення числових експериментів.

8. Аналіз отриманих результатів.

9. Прогнозування на основі отриманих результатів.

Процес побудови моделі того чи іншого явища або процесу системи називається моделюванням. Ясно, що модель може тільки наближено відображати ті явища, або процеси, що відбуваються в природі. Моделі: фізичні, натурні, макети, інформаційні. Зокрема велику увагу приділяють математичним моделям.

Математична модель – наближене описання того чи іншого явища, процесу системи на мові математики (з використанням математичної символіки). Зокрема з використанням систем рівнянь, нерівностей, диференційний рівнянь та їх систем, інтегральних рівнянь.

Процес побудови математичної моделі ділиться на 4 етапи:

1. Вивчення предметної області з використанням основних законів фізики, хімії, біології і т.д. цей етап потребує глибокого знання з вивчення і аналізу отримання раніше експеримент них даних, що відносяться до даного явища, процесу або системи. Знання взаємозв’язків між окремими факторами, він завершується записом у вигляді математичних рівнянь, нерівностей. Сформульованих якісних представлень.

2. Дослідження математичних моделей за допомогою математичних методів, тобто розв’язок задач, триманих на першому етапі. Одним з головних питань на цьому етапі є питання про конструктивну побудову самого розв’язку, отримання наслідків з нього і вихідних даних для подальшого співставлення з рівняннями спостереження. Досить часто різні фізичні явища, процеси і системи описуються однією і тією ж математичною моделлю, тому дослідження математичних моделей має самостійне значення.

3. Перевірка моделі на адекватність, тобто чи задовольняють нас результати отримані на основі створеної моделі. Якщо ми отримали достатньо добре узгодження з результатами спостереження, то модель можна прийняти до використання у практичній діяльності. Якщо достатньо доброго узгодження немає, то модель потрібно замінити більш досконалою.

4. Вдосконалення моделі шляхом внесення змін в математичну модель. Таким чином, щоб результати, які надає дана математична модель були близькими до результатів спостереження.

1. Класифікація рівнянь в частинних похідних.

Класифікують рівняння в частинних похідних по багатьох ознаках, а саме, приймаючи до уваги:

1. Порядок рівняння – найвищий порядок частинної похідної, що входить в рівняння;

2. Число змінних – число незалежних змінних рівняння;

3. Лінійність чи нелінійність відносно шуканої функції чи її похідних;

4. Однорідність чи неоднорідність (тобто рівний нулю чи ні той член рівняння, який суттєво не містить невідомої функції чи її похідних);

5. Види коефіцієнтів, відносно яких рівняння поділяють на рівняння з постійними коефіцієнтами та рівняння зі змінними коефіцієнтами.

6. Нехай шукана функція U залежить від n незалежних змінних:

Означення 1. Рівність виду

, (1.1)

яка зв’язує шукану функцію U, незалежні змінні і частинні похідні від шуканої функції, називають диференціальним рівнянням в частинних похідних (ДРЧП) порядку k відносно невідомої функції а ліва частина цієї рівності – диференціальним оператором з частинними похідними порядку k (тут зауважимо, що ).

Для кожного ДРЧП задається деяка область G зміни аргументів .

Означення 2. Визначена в області G задана рівнянням (1.1) дійсна функція , неперервна разом зі своїми частинними похідними, які входять в це рівняння і перетворюють його при відповідних підстановках в тотожність, називають регулярним розв’язком.

Поряд з регулярними розв’язками в теорії ДРЧП існують розв’язки, які перестали бути регулярними в деяких точках області G чи на многовидах. Це – так звані елементарні чи фундаментальні (сингулярні) розв’язки.

Лінійні ДРЧП 2-го порядку можна записати в такому вигляді:

(1.2)

де - диференціальний оператор; a_ij – коефіцієнти рівняння (сталі числа чи функції від змінних х, у).

Тут використано позначення:

і т.д.

В залежності від знаку виразу кожне з таких рівнянь має в точці наступний тип:

1. еліптичний, якщо ,

2. параболічний, якщо ,

3. гіперболічний, якщо .

Може бути так, що в різних точках області G чи її підобластях рівняння (1.2) може належати до різних типів. Кажуть, що таке рівняння є рівнянням змішаного типу.

Якщо в кожній точці даної області G рівняння (1.2) має один і той же тип, то його відносять до цього ж типу (еліптичного, параболічного чи гіперболічного).