Министерство образования и науки РФ

Негосударственная образовательная организация

высшего профессионального образования

некоммерческое партнерство

«Тульский институт экономики и информатики»

Кафедра «Естественнонаучных и гуманитарных дисциплин»

Утверждаю Проректор по УМР

К. А. Анкудинов

« » 2011 г.

Конспект лекций по дисциплине

Математика для

специальностей 230700 «Прикладная информатика».

Тула 2011

Рассмотрено на заседании кафедры

протокол № от " " 2011 г.

Зав. кафедрой Е.А. Вишнякова

Лекция 1 Тема 1: Матрицы и определители

ПЛАН

1. Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами.

2. Определители квадратных матриц.

3. Свойства определителей.

4. Теорема Лапласа.

1. Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами

Определение 1. Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

,	aij - элемент матрицы A, где: i -номер строки, j - Номер столбца.

Определение 2. Две матрицы одного размера mn называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. А=В  a_ij=b_ij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.

Определение 3. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой A=(a₁₂, a₁₂, ..., a_1n) или A=(a₂, a₂, ..., a_n).

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:

или .

Определение 4. Матрица называется квадратной матрицей n-го порядка, если число ее строк равно числу ее столбцов и равно n .

Определение 5. Элементы a_ij матрицы. А, у которых номер строки i равен номеру столбца j, называются диагональными. Они образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы равны нулю.

Определение 6. Единичной матрицей n-го порядка называется диагональная матрица n-го порядка, у которой все диагональные элементы равны 1.

Определение 7. Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Определение 8. Произведением матрицы. А на число  называется матрица B=A, элементы которой b_ij=a_ij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n

Определение 9. Суммой двух матриц. А и. В одного размера называется матрица. С=А+В, элементы которой с_ij=a_ij+b_ij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n .

Определение 10. Если число столбцов матрицы. А равно числу строк матрицы. В и равно k, то произведением матриц. А и. В называется матрица С=АВ, каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е. с_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_ikb_kj для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n

Многие свойства операций над числами справедливы и для операций над матрицами (это проверяется по определению операций):

1) A+B=B+A;

2) (A+B)+C=A+(B+C);

3) (A+B)=A+B;

4) A(BC)=(AB)C;

5) (AB)=(A)B=A(B);

6) (A+B)C=AC+BC;

7) A(B+C)=AB+AC.

Однако для операций над матрицами справедливы не все свойства операций над числами. Например, ABBA для матриц и .

Определение 11. Матрица , которая получается из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице А.

Из определения следует, что если матрица А имеет размер mn, то транспонированная матрица А' имеет размер nm .

2. Определители квадратных матриц

Определение 1. Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле .

Определение 2. Определителем матрицы 3-го порядка A (определителем 3-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле

.

Заметим, что определитель 3-го порядка матрицы А есть алгебраическая сумма 3!=6 слагаемых, каждое из которых есть произведение трех множителей, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А.

Определение 3. Определителем квадратной матрицы n-го порядка A (определителем n-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле , где r(J) - число инверсий в перестановке J из номеров столбцов матрицы (когда номера строк записаны в порядке возрастания), а сумма берется по всем перестановкам J .

Заметим, что определитель n-го порядка матрицы А есть алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n множителей, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А.