3. Свойства определителей

Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно больше элементов равно нулю.

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0,

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число  , то ее определитель умножится на это число .

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т.е. А'=A.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b₁, b₂, ..., b_n на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b₁, b₂, ..., b_n.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц одного размера равен произведению их определителей, т.е. С=AB, где С=AB .

4. Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца

Определение 1. Минором M_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определение 2. Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка A называется его минор M_ij , взятый со знаком (-1)^i+j , т.е. А_ij=(-1)^i+j  M_ij .

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

A=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in (разложение по элементам i-ой строки);

A=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj (разложение по элементам j-го столбца).

Лекция 2 Тема 1: Матрицы и определители

ПЛАН

1. Обратная матрица и алгоритм ее вычисления.

2. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований.

3. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

1. Матрица, обратная данной, алгоритм ее вычисления

Определение 1. Квадратная матрица А называется особенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю, т.е. A=0.

Определение 2. Квадратная матрица А называется неособенной (невырожденной), если ее определитель отличен от нуля, т.е. A0.

Определение 3. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице n-го порядка А , если АА^-1=А^-1А=Е, где Е- единичная матрица n-го порядка.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А^-1 существует (и единственна), тогда и только тогда, когда матрица А неособенная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель Aматрицы А.

Если A=0, то А - особенная матрица, А^-1 не существует.

Если A0, то А - неособенная матрица, А^-1 существует.

2. Находим матрицу А', транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения А'_ij элементов транспонированной матрицы А' и составляем из них присоединенную матрицу , т.е. .

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А^-1, исходя из определения АА^-1=А^-1А=Е.

Определение 4. Матрица называется присоединенной по отношению к квадратной матрице n-го порядка А, если ее элементами являются алгебраические дополнения А'_ij элементов матрицы А', транспонированной к матрице А,

т.е. , где i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.

Необходимость. Пусть матрица А имеет А^-1, т.е. АА^-1=А^-1А=Е. По свойству 10 определителей имеем АА^-1 =АА^-1 =Е=1, Следовательно, А0 и А^-1 0.

Достаточность. Пусть А0.

Рассмотрим матрицу . По правилу умножения матриц . По определению присоединенной матрицы и свойству 7 определителей , т.е. В - диагональная матрица, диагональные элементы которой равны А.

Аналогично проверяется, что . Итак, в качестве обратной матрицы можно взять матрицу , так как .

Единственность обратной матрицы следует из того, что если некоторая матрица Х удовлетворяет условию обратной матрицы АХ=Е, то и .