7

Лекция 4

Тема 1. Алгебраические расширения числовых полей.

Конечные поля, основанные на кольцах многочленов.

1. Минимальные многочлены¹

Из предыдущего материала уже стало ясно, что главную роль в построении расширений полей играют неприводимые многочлены. Среди них заслуживают особого внимания минимальные многочлены, которые мы определили следующим образом (см. Л-1, РПЭК): Простой (неприводимый) многочлен над полем GF(q) наименьшей степени, для которого , называется минимальным многочленом элемента над полем GF(q).

По определению минимальный многочлен является неприводимым. Однако среди неприводимых есть примитивные и не примитивные многочлены (см. Л-2, РПЭК: многочлен называется примитивным, если в расширении поля, построенном по модулю , соответствующий многочлену x элемент поля является примитивным).

П р и м е р 1. В поле с элементами, рассмотренными в примере Л-2, РПЭК, где возможными коэффициентами для минимального многочлена являются 0 и 1, имеем

Элемент Минимальный многочлен

0 x

1 x +1

Нетрудно убедиться, что приведенные элементы являются корнями соответствующих минимальных многочленов. Минимальные многочлены элементов и являются одновременно примитивными (их корни имеют максимальный порядок 15). Предпоследний многочлен не примитивный в поле (его корень имеет порядок 5). Многочлен второй степени  примитивный в поле (оно является подполем поля ).

Мы сейчас сосредоточимся на изучении свойств минимальных многочленов. Некоторые из них мы уже установили ранее (см. Л-2, РПЭК).

Свойства минимальных многочленов.

Предположим, что  минимальный многочлен элемента , .

М1.  неприводимый (доказано в Л-2, РПЭК).

М2. Если  некоторый многочлен (с коэффициентами из поля GF(p)) такой, что , то (доказано на Л-2, РПЭК).

М3. .

Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из (М2) и следствия теоремы 5, Л-2, РПЭК (каждый элемент поля GF(q) удовлетворяет равенству , или эквивалентно, является корнем уравнения ).

М4. deg M(x)  m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. GF(p^m) образует некоторое пространство размерности m над GF(p). Следовательно, любые т + 1 элементов, в частности 1, ,..., , являются линейно зависимыми, то есть существуют все одновременно не равные нулю коэффициенты GF(p) такие, что . Таким образом, является многочленом степени не более чем т, который имеет  своим корнем. Следовательно, deg M (x) ≤ т.

М5. Степень минимального многочлена примитивного элемента поля GF(p^m) равняется m (то есть такой минимальный многочлен примитивный).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть   примитивный элемент поля GF(p^m) и М(х)  его минимальный многочлен степени d. Мы можем использовать М(х) для построения поля F порядка p^d. Но F содержит  и, следовательно, все поле GF(p^m), так что d ≥ т. Но согласно (М4) одновременно выполняется равенство deg M (x) ≤ т. Следовательно, выходит d = т.

Замечание. Если неприводимый многочлен (х) используется для построения поля GF(p^m) и элемент поля GF(p^m) является корнем (х), то, очевидно, что (х) является минимальным многочленом элемента .

Теперь мы можем доказать единственность поля GF(p^m). Справедлива теорема.

Теорема 1. Все конечные поля порядка р^т изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F и G  поля порядка р^т и пусть   примитивный элемент поля F с минимальным многочленом М(х). Из свойства (МЗ) вытекает, что М(х)| . Следовательно, соответственно следствию теоремы 5, Л-2 (каждый элемент поля GF(q) является корнем уравнения , ) в G найдется элемент , минимальным многочленом которого является М(х). Теперь F можно рассматривать как множество многочленов от  степени не больше т 1 (как множество классов вычетов по модулю М(х)), a G  как множество многочленов от  степени не больше т  1. Тогда соответствие    задает изоморфизм F  G.

В качестве примера рассмотрим два способа задания поля , приведенные на Рис.1, которые определяются соответственно многочленами и .

Задание поля с помощью Задание поля с помощью

многочлена многочлена

000 = 0 000 = 0

001 = 1 001 = 1

010 = 010 =

100 = 100 =

011 = 101 =

110 = 111 =

111 = 011 =

101 = 110 =

( ) ( )

Рис.1. Два способа задания .

Минимальным многочленом обоих элементов  и является , и соответственно устанавливает изоморфизм между двумя способами задания поля.