ЛЕКЦІЯ 1

Тема 1. Алгебраические расширения числовых полей

1. Алгебраические числа.

До сих пор мы вели рассмотрение определений и понятий, ориентируясь на произвольные абстрактные кольца. В конечном итоге нас больше интересуют частные случаи применения этих понятий, которые относятся к числовым полям, и полям, построенным на числовых конструкциях. Итак, в дальнейшем речь пойдет о числовых полях, которые мы будем обозначать символом . Остановимся, прежде всего, на понятии алгебраического числа. Мы здесь повторим определение из лекции 1, только теперь конкретизируем его тем, что в качестве области целостности с единицей мы будем рассматривать числовое поле.

Определение 1. Число называется алгебраическим относительно числового поля (или над полем ), если оно является корнем какого-нибудь многочлена над полем . Число, которое не является алгебраическим относительно поля , называется трансцендентным относительно этого поля.

Очевидно, что всякое рациональное r представляет собой алгебраическое число, так как его можно рассматривать, как корень многочлена с рациональными коэффициентами. Иррациональные числа тоже могут быть алгебраическими. Например, числа , алгебраические, так как они являются корнями многочленов , (соответственно) над полем Q. Существует бесконечное множество иррациональных чисел, которые не являются корнями ни одного из многочленов над полем Q. Такие числа в соответствии с приведенным определением называют т р а н с ц е н д е н т н ы м и.

Поскольку в этом разделе мы будем рассматривать только числовые поля, то слово числовое во многих случаях будет опускаться.

Так как поле рациональных чисел Q является подполем любого числового поля , то числа, алгебраические относительно поля Q, являются алгебраическими и относительно любого другого поля . Понятно, конечно, что каждое число поля является алгебраическим числом относительно того же поля , так как корень многочлена над .

Пусть корень нормированного многочлена степени n над полем вида

. (1)

Будем считать, что этот многочлен н е п р и в о д и м ы й н а д п о л е м (Л-6: многочлен называется неприводимым над полем P, если он не является константой и не имеет в делителей, отличных от константы и многочленов вида , где c  константа). Пусть, кроме того, любой другой многочлен над полем , корнем которого является число . Очевидно, что многочлены и взаимно простыми быть не могут, так как имеют общий множитель . С другой стороны, неприводимый над полем . Поэтому многочлен делится на многочлен и, следовательно, имеет степень не ниже, чем n. В частности, если тоже неприводимый многочлен, то он совпадает с с точностью до постоянного множителя. Поэтому нормированный многочлен  это единственный неприводимый многочлен над полем , который имеет своим корнем, а его степень n  самая меньшая среди степеней всех многочленов с корнем ¹⁾.

Определение 2. Нормированный многочлен минимальной степени над полем , который имеет своим корнем, называется минимальным многочленом числа , а его степень n называется степенью алгебраического числа относительно поля .

Из предыдущего следует, что минимальный многочлен числа является одновременно и неприводимым, так как если предположить обратное, т.е. что =  , то это бы означало выполнение равенства = 0, хотя бы для одного из многочленов , которые имеют степень меньшую, чем у , что противоречит определению.

При из неприводимости следует, что . Действительно, если бы , то делимость многочлена на линейный двучлен обозначала бы, что приводимый над полем .