31. Способы доказательства логических выражений с использованием специальных приемов.

Способ доказательства с использованием раскрытия Булевых операций их из определения и некоторых законов логики Буля.

1 пример. Доказать тождество

(a∩b∩c)→(a U b U c)=(a→b) U (b→c) U (c→a)

Доказательство: (a∩b∩c)→(a U b U c)=по определению операции импликации = = по закону де Моргана = = по определению импликации = ;

Доказательство:

Доказательство специального характера

Доказать, что если

Доказательство:

Доказательство и использованием “Умножения” слева и справа. На дополнительную импликанту.

Доказать закон де Моргана

умножим слева на (a U b):

умножим справа (a U b):

32. Логика высказываний и операции логики высказываний.

Высказывание – грамматически правильное предложение, про которое можно сказать истинно оно или ложно. ПРИМЕР : «Киев – столица Украины» (И) – истинна «Томск – столица Японии» (Λ) ложь

Пусть имеем два след. Высказывания: А = «на улице идет дождь» В = «над головой раскрыт. зонт»

С помощью логических связок можно образовать более сложное высказывание

- отрицание Ā = «на улице не идет дождь»; - дизъюнкция Ā U В = «на улице не идет дождь или/и над головой раскрыт зонт»; - конъюнкция = «На улице идет дождь и над головой не раскрыт зонт»; - импликация А → В «Если на улице идет дождь, то над головой раскрыт зонт»; - эквивалентность В ~ А = «Над головой раскрыт зонт, тогда и только тогда, когда идет дождь» Другие логические связи в логике высказываний не используются.

РАССМОТРИМ ПОДРОБНО:

1. ОТРИЦАНИЕ Ā. Высказывание А по другому можно прочитать так: « истинно то, что на улице идет дождь » Если А = 0, то это означает, что на улице нет дождя. Дополнение к А : Ā также отрицательно на истинное высказывание: «истинно то, что на улице не идет дождь» Тогда: Ā = 1 (отсутствие дождя)( А = 0 )

2. ДИЗЪЮНКЦИЯ В общем случае подразумевают так же конъюнкцию двух высказываний. Т. е. обознач. « или » однако часто возникает необходимость обязать высказывание только союзом «или»

ПРИМЕР: Р=«Петр находится в бассейне» Q=«Петр находится в театре»PVQ=«Петр находится в бассейне или в театре ». Если необходимо точно показать где находится Петр, то нужно записать, (P V Q)Λ( ) = (P V Q)Λ( ). C точки зрения логики Буля эта операция соответствует ассиметричной разности P + Q , + - не используется => необходимо применить запись показанную выше.

P	Q			P V Q
0 1 0 1	0 0 1 1			0 1 1 1

1 0 1 0	1 1 0 0	1 1 1 0

3.КОНЬЮНКЦИЯ. Логический союз «и» не обязательно должен представляться через грамматический союз «И», например - А Λ = « На улице идет дождь, а над головой не раскрыт зонт » Может возникнуть такая семантическая ситуация, тогда союз «И» не выполнят роль конъюнкции. ПРИМЕР: С = «Ему стало грустно и он прибил таракана тапочком», D=«он прибил таракана тапочком и ему стало грустно » В этих двух предложениях конъюкция неочевидна. Различие двух высказываний очевидно и мы имеем дело со скрытой импликацией,т.е.следствие(одно простое выражение обуславливает уравнение)

4.ИМПЛИКАЦИЯ. Высказывания типа «если А,то В» имеют объясняющий характер(причина-следствие). Т. е. что имеет место событие В, потому, что произошло событие А.

Грамматически импликация может быть оформлена:«А является достаточным основанием для В»; «В потому,что А»;«В при условии выполнения А» и т.п. ~ причинно – следствие отношения можно записывать в виде таблицы истинности.

А	В	А → В	Результат
0 1 0 1	0 0 1 1	1 0 1 1	Останешься сухим Будешь мокрым Останешься сухим Останешься сухим

Даная таблица является таблицей истинности для импликации, как в логике Буля, так и в логике высказывания.

5.ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. Может интерпретироваться высказываниями

«А эквивалентно В»,а также «А равно В»,«А тождественно В»,«А равносильно В»,«А тогда и только тогда В»и т.п. Экв-ность выражается через конъюнкцию двух импликацийA~В=(А→В)Λ(В→А), такое отношение часто возникает при одновременном высказывании 2-х условий «из А следует В» и «из В следует А».=>при эквивалентности нельзя одному событию принимать только роль причину, а другому только следствие и наоборот. ПРИМЕР: R=«нарастание анархии в обществе», S=«падение авторитета власти».Это события являются разнопорядковыми, т.к. R происходит из-за S и наоборот S происходит из-за R, R и S образую здесь логический круг кот-ый называется СИЛЬНОСВЯЗАННЫМ и выражают следующими множествами R~S=(RΛS)~(RVS ) или l=(RVS)→(RΛS). Понятие сильной связанности совпадают с понятием экви-ти если речь идет о двух событиях.

А	В	А ~ В	А → В	B → A	()V()
0 1 0 1	0 0 1 1	1 0 0 1	1 0 1 1	1 1 0 1	1 0 0 1