36. Аксиомы, противоречия и тавтологии в логике высказываний.

Если символ метода эмпликации клаузы P1,P2,…,Pn-1=>Pn;C (2.2) сместить в крайнее левое положение ,то клауза превратится в тафталогию: 1=>Р1,Р2,…,Рn-1,Pn

Для доказательства логических клауз используются методы

1)аксоматический (аксиоматический подход к док-ву логич. Высказываний

2)метод таблицы истинности (конструктивный подход)

3)метод резолюции

4)метод Вонга

5)метод натурального исчисления

Аксоматический метод основан на независимой системы аксиом с помощью которых можно установить истинность или ложность любой клауз :

1. 1=>A(BA)

2. 1=>(A(BC))((AB)(AC))

3. 1=>(A(BC))(B(AC))

4. 1=>(AB)(BA)

5. 1=>AA, 1=>AA

Данная аксиома отображает:

1. закон отношения порядка

2. закон коммутативности

3. закон ассоциативности

4. закон дистрибутивности

5. закон двойного отрицания (0 и 1)

Доказательство при аксиоматическом подходе сводится к таким эквивалентным преобразованиям логических выражений, с помощью обозначенных выше аксиом, которые приводят к выполнению или не выполнению основной аксиомы логических высказываний, отображающей отношение порядка, и которое может быть представлена в общем случае следующим образом: А,ВA ,что можно выразить так: если раньше было установлена, что А истинно, то истинность В не повлияет так, что А станет ложным

37. Конструктивный подход к доказательству логических выражений в логике высказываний.

Конструктивный подход доказательства логических высказываний с помощью таблицы истинности.

Для этого составим таблицу истинности для следующего примера:

Пусть дана легенда: «Кассир сидорова сказала, что она видела грузчика Иванова в комнате отдыха. Эта комната имеет тонкую перегородку и находится рядом со складом готовой продукции. Стреляли. Грузчик сказал, что никаких выстрелов не слышал»

Вывод исследователя: «если кассир говорит правду, то грузчик вводит следствие в заблуждение, не могут кассир и грузчик одновременно говорить правду»

Введем обозначение для высказываний:

А= “Кассир сказала правду”;

В= “Грузчик находился в комнате отдыха”;

С= “Комната отдыха находится рядом со складом”;

D= “грузчик слышал выстрелы”;

Е= “грузчик говорит правду”;

Исходные посылки следователя:

Р₁ = А→В = если А, то В;

Р₂ = В→С = если В то С;

Р₃ = С→D = если С то D;

Р₄=Е→ =если Е, то не D= если верит грузчику, то он не слышал выстрелов.

Заключение следователя (что ему нужно проверить):

С₁=А→ (грузчик обманывает, если кассир сказала правду);

С₂=А∩Е (кассир и грузчик одновременно говорят правду)

Формальная запись легенды:

А→В, В→С, С→D, Е→ => С₁; С₂

Составим таблицу истинности:

Сначала обозначим обобщенную посылку Р=Р₁ ∩Р₂ ∩Р₃ ∩Р₄

n	А	В	С	D	Е	Р1	Р2	Р3	Р4	Р	С1	С2	С3	С4	С5
0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0
3	1	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
4	0	0	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1
5	1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0
6	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0
7	1	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0
8	0	0	0	1	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
9	1	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0
10	0	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
11	1	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
12	0	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
13	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
14	0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
15	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
16	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1
17	1	0	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0	0
18	0	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1	0	1	0
19	1	1	0	0	1	1	0	1	1	0	0	1	0	0
20	0	0	1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	1
21	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1	1	0
22	0	1	1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	0	0
23	1	1	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0
24	0	0	0	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	1
25	1	0	0	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0
26	0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0
27	1	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0	1	0	0
28	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	1
29	1	0	1	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0
30	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	0
31	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0

Клауза считается истинной если все единицы следствия накрывают все единицы обобщенной причины Р. Т.е. единицы обобщенной причины образуют подмножество единиц следствия.Для С₁, Р=(0,8,12,14,15,16) (0,1,2,..,16,18,20)=С₁

Следовательно заключение является истинным для С₂.Р=(0,8,12,14,15,16) {17,19,21,…,31}=С₂

Следовательно заключение С₂ ложно. С помощью таблицы истинности не трудно установить истинность тавтологии1=> а также справедливость противоречияР₁, Р₂, Р₃, Р₄, =>0.