- •Составители: доц. Валерий Леонидович Шур
- •§1. Числовые ряды
- •§2. Признаки сходимости числовых рядов
- •§3. Знакопеременные ряды
- •§4. Степенные ряды
- •§5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов и к решению дифференциальных уравнений
- •§6. Ряды Фурье
- •Индивидуальные домашние задания
- •Библиографический список
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Самарская государственная академия путей сообщения
Кафедра «Высшая математика»
РЯДЫ
Методические указания
и индивидуальные домашние задания
для студентов 2 курса очной формы обучения
всех специальностей
Составители: Шур В.Л.
Сеницкий А.Ю.
Додонова Н.Л.
Латыпова Н.М.
САМАРА 2005
УДК 517
Ряды: Методические указания и индивидуальные домашние задания для студентов- очной формы обучения всех специальностей. – Самара.- СамГАПС, 2005. – 26 с.
Утверждено на заседании кафедры «Высшая математика» от 24.03.05 г., протокол №6.
Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.
Методические указания и индивидуальные домашние задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывают раздел общего курса: ряды и их применение.
Указания предназначены для студентов-очников всех специальностей.
Составители: доц. Валерий Леонидович Шур
доц. Александр Юрьевич Сеницкий
доц. Наталья Леонидовна Додонова
доц. Наиля Масхутовна Латыпова
Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент СГУ Г.В. Воскресенская
к.ф.-м.н., доцент СамГАПС В.П. Кузнецов
Под редакцией авторов
Подписано в печать 11.05.05. Формат 60 х 90 /16.
Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 1,6.
Тираж 100 экз. Заказ № 72.
© Самарская государственная академия путей сообщения, 2005
§1. Числовые ряды
Основные определения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность . Числовым рядом с общим членом называется выражение вида
.
Числовой ряд обозначается .
Например, если , то ряд имеет вид:
или
.
Сумма первых n членов ряда называется n-ой частичной суммой и обозначается , . Так, например,
Последовательность называется последовательность n-ых частичных сумм.
Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, то есть если существует предел . Значение s этого предела называется суммой ряда . Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, ряд называется расходящимся.
Пример 1.1. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Пользуясь известным тождеством , находим, что
.
Так как
,
то ряд сходится и его сумма равна 1.
Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии
, где .
Решение. Известно, что сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле .
Тогда .
Если , то . Если , то .
Таким образом, ряд , составленный из членов геометрической прогрессии сходится при и расходится при .
§2. Признаки сходимости числовых рядов
Лишь в редких случаях удается получить выражение для , содержащее ограниченное число слагаемых, и непосредственно найти . Обычно, для исследования рядов на сходимость, используют признаки сходимости.
Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
Из этого признака непосредственно вытекает, что, например, ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю, . Однако, следует отметить, что стремление к нулю общего члена к нулю является лишь необходимым признаком сходимости, но не является достаточным. Например, общий член ряда стремится к нулю, , а сам ряд является расходящимся.
Ряд называется гармоническим. Полезно запомнить, что гармонический ряд расходится.
Свойства сходящихся рядов.
1. Ряд не может иметь двух различных сумм.
2. Если ряд сходится, то и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, сходится и имеет ту же сумму, что и исходный.
3. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд , причем + = .
4. Если ряд сходится, то сходится и ряд , где , причем = .
Далее сформулируем признаки сравнения.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда и , члены которых неотрицательны, причем для всех n выполняется неравенство . Тогда
1) если сходится ряд , то сходится и ряд ,
2) если расходится ряд , то расходится и ряд .
Пример 2.1. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Очевидно, что для любого n=1, 2, … справедливо неравенство . Сравним исходный ряд с рядом , составленным из членов геометрической прогрессии с основанием . Поскольку ряд сходится и для всех n , то по первому признаку сравнения, ряд сходящийся.
Второй признак сравнения. Пусть даны два ряда и , члены которых неотрицательны и пусть существует конечный предел . Тогда при оба ряда одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же , то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда , а из расходимости ряда — расходимость ряда .
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Вычислим предел
.
Согласно второму признаку сравнения ряды и сходятся или расходятся одновременно. Поскольку гармонический ряд является расходящимся, то и ряд расходится.
Признак Даламбера. Пусть все члены ряда положительны и пусть существует предел отношения последующего члена к предыдущему: . Тогда
1) если , то ряд сходится;
2) если , то ряд расходится;
3) если , то ряд может как сходится, так и расходится.
Пример 2.3. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Вычислим предел отношения последующего члена к предыдущему: :
.
По признаку Даламбера заключаем, что ряд расходится.
Пример 2.4. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим признак Даламбера. Так как , , то и .
Так как , то ряд сходится.
Радикальный признак Коши. Пусть все члены ряда положительны и пусть существует предел . Тогда
1) если , то ряд сходится;
2) если , то ряд расходится;
3) если , то ряд может как сходится, так и расходится.
Пример 2.5. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Вычислим предел
.
Согласно радикальному признаку Коши, ряд сходится.
Пример 2.6. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим радикальный признак Коши.
.
Так как , то ряд расходится.
Интегральный признак Коши. Пусть функция определена, непрерывна, положительна и монотонно убывает на луче и стремится к нулю при . Пусть и . Тогда числовой ряд сходится в том и только в том случае, если сходится несобственный интеграл .
Пример 2.7. Исследовать на сходимость ряд , .
Решение. Рассмотрим функцию . Она определена, непрерывна, положительна и монотонно убывает на луче , причем стремится к нулю при . Таким образом функция полностью удовлетворяет условиям интегрального признака Коши и, следовательно ряд будет сходиться в том и только в том случае, если сходится несобственный интеграл .
Вычислим несобственный интеграл при .
,
то есть интеграл расходится.
Вычислим несобственный интеграл при .
Если , то и интеграл расходится.
Если , то и , то есть интеграл сходится.
Итак, интеграл расходится при и сходится при . Согласно интегральному признаку Коши, ряд , расходится при и сходится при .
Ряд называется обобщенным гармоническим рядом.
Пример 2.8. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим интегральный признак Коши. Для этого рассмотрим несобственный интеграл
Так как соответствующий интеграл расходится, то расходится и ряд.