Курсовик по ТОЭ1

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

Кафедра теоретических основ электротехники

Курсовая работа по теоретическим основам электротехники

Исследование прохождения сигналов через линейную электрическую цепь

Вариант 16

Преподаватель: Куткова Л.В.

Студент гр. 0341 Юбрин А.Н.

Санкт-Петербург

2002

1. Нормирование параметров.

R₁=R₂=210³ Ом

L₁=L₂=10^-3 Гн

С₁=50010^-12Ф

t_баз=10^-6с

_баз=¹/t_баз=10⁶с^-1

R_баз=R₁=R₂=210³ Ом

R_1*=R_2*=1 Ом

L_1*=L_2*=Гн

C_1*=C₁_базR_баз=50010^-1210⁶210³=1Ф

2. Определение передаточной функции цепи Н(s)

Z_L1=Z_L2=SL_1*

Z_C=¹/SC_1*

i`_R2=1A

i`<sub>L2</sub>= i`_R2=1A

u^`_R2=1В

u<sup>`</sup><sub>L2</sub>=i`_L2Z_L2=SL_2*

u`<sub>C1</sub>=u<sup>`</sup>_R2u^`_L2=1+SL_2*

i`<sub>C1</sub>=u`_C1/Z_C=SC_1*+S²L_2*C_1*

i`<sub>L1</sub>=i`_C1+i`_R2=1+SC_1*+S²C_1*L_2*

u`<sub>L1</sub>=i`_L1Z_L1=SL_1*+S²L_1*C_1*+S³C_1* L_1*L_2*

u`<sub>R1</sub>=u`_L1+u`_C1=SL_1*+S²L_1*C_1*+S³C_1*L_1*L_2*+1+SL_2*=1+S(L_1*+L_2*) +S²L_1*C_1*+S³C_1*L_1*L_2*

i`<sub>R1</sub>=u`_R1R_1*=1+S(L_1*+L_2*) +S²L_1*C_1*+S³C_1*L_1*L_2*

i`<sub>1</sub>=i`_R1+i`_L1=1+S(L_1*+L_2*) +S²L_1*C_1*+S³C_1*L_1*L_2*+1+SC_1*+S²C_1*L_2*=

=2+S(L_1*+L_2*+C_1*)+S²(L_1*C_1*+C_1*L_2*)+S³C_1*L_1*L_2*

H_i(S)=

Полюсы функции

S₁=2 ^Im

S₂=1+j ^3

S₃=1j

^{-2 -1 Re}

H_i(0)=¹/₂;

H_i()=0;

3. Расчет частотных характеристик цепи H(j). Построение графиков АЧХ, А() и ФЧХ, Ф(), а также графика амплитудно-фазовой характеристики (АФХ);

H(j)=

График Амплитудно-частотной характеристики

A

Полоса пропускания

Полоса интегрирования

()=

График Фазо-Частотной Характеристики

Ф()=arctan(^_)-arctan(^2/_(4-2))

-135⁰

Амплитудно-Фазовая Характеристика

H(j)=

w=2,7

w=1,3

Расчитаем полосу пропускания:

Определим частоту _пп при которой A(_пп)>0,35=^Amax/_2

Преобразуем:

Получим корни: -2,2, (-1+i3), (-1-i3), (1+i3), (1-i3)

Следовательно: _пп=2^рад/_c, что видно на графике

Диапазон пропускания [0;2], что соответствует фильтру нижних частот.

Амплитуда выходного сигнала будет равна 0,5A_вх

Если спектр входных сигналов попадает в полосу пропускания, то он будет мало искажен, т.к. в области полосы пропускания график близок к линейному.

t_зап=

5. Определение переходной h₁(t) и импульсной h(t) характеристик.

H₁(S)= =

Для расчета использовалась программа написанная на языке Turbo Pascal 7.0

A₁=0.5000 | S=0

A₂=-0.5000 | S=-2

A₃=i0.2887=e^j90 | S=-1+i3

A₄=-i0.2887= e^-j90 | S=-1i3

h₁(t)=0.50.5e^-2t+¹/_3e^-tcos(3t+90)

Время переходного процесса =3_max=3c

h₁(0)=0; h₁()=0,5;

Верно, т.к. воздействие ₁(t), т.е. в точке 0⁺  => следующая схема замещения

L₁ L₂

C

График переходной характеристики h₁(t)

H(S)=

A₁=1 | S=-2

A₂=-0.5-i0.2887=¹/_3e^-j150 | S=-1+i3

A₃=-0.5+i0.2887=¹/_3e^j150 | S=-1i3

h(t)=e^-2t+²/_e^-tcos(t150)

Время переходного процесса =3_max=3c

График импульсной характеристики h(t)

Для контроля можем взять производную от h₁(t) и получим h(t)

h(t)=(0.50.5e^-2t+¹/_3e^-tcos(3t+90))`=e^-2t¹/_3e^-t(cos(3t+90)+sin(3t+90)3)=

=e^-2t²/_3e^-t(cos(3t+90)cos(60)+sin(3t+90)sin(60))= e^-2t²/_3e^-t(cos(3t+90+60))=

= e^-2t²/₃e^-t(cos(3t150))

h(t)=e^-2t+²/_e^-tcos(t150)

Это доказывает верность вычислений h₁(t) и h(t).

6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе.

Продифференцируем график входного импульса, для получения его изображения.

Где I_m=2A; t_и=12,56с

I_вх(S)=

I_вых(S)=I_вх(S)H(S)

Посчитаем сначала функцию ¹/_S² H(S)

H_2S(S)=

=

Расчеты проводились при помощи программы MathCad 8.1

A₁=0,5 | S=0

A₂=-0,5 | S=0

A₃=0,25 | S=-2

A₄=0,125-j0,072=0,144e^-j30 | S=-1+i3

A₅=0,125+j0,072=0,144e^j30 | S=-1i3

H_2S(t)=0,t-0,5+0,25e^-2t+0,288e^-tcos(3t-30)

Запишем уравнение выходного сигнала

I _вых(t)= 0,64(H_2S(t)_(t)H_2S(t3,14)_(t3,14)H_2S(t,42)_(t9,42)+H_2S(t12,56)_(t12,56)

Построим графики входного и выходного сигналов:

Как и ожидалось в п.3 Амплитуда выходного сигнала относительно амплитуды входного падает приблизительно в 2 раза, время запаздывания приблизительно равно 1с, что удовлетворяет выводам о времени запаздывания в п.3.

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия.

Изображение входного сигнала имеет вид:

I_вх(S)=

Спектральная плотность входного одиночного сигнала

I_вх(j)===

===

=

Амплитудный спектр входного одиночного сигнала:

A.С.=|I_вх(j)|

A.С.=

=0 A_вх=0,6374.711,57=4,71

=1 A_вх=0,637

=2 A_вх=0

=3 A_вх=0,071

=4 A_вх=0

=5 A_вх=0,025

=6 A_вх=0

Г рафик амплитудного спектра:

Ширина спектра определяется по 10%-му амплитудному критерию, составляет:

  1,19 (рад)

Фазовый спектр входного одиночного сигнала:

Ф_kвх()=arg(I_вх(j))=arg(sin(4,71) sin(1,57))6,28

График фазового спектра:

Сопоставляя спектр входного сигнала с частотными характеристиками цепи, можно установить, что существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, а ФЧХ этой области приближенно линейная. Поэтому искажение входного сигнала после прохождения через цепь будет незначительным.

10. Определение спектра периодического входного сигнала.

Входной сигнал имеет вид:

T=12,56c

Входной сигнал представим в виде отрезка ряда Фурье:

i₁(t)=, где ₁=^2/_T

A_kвх=²/_T|I_вх(j)| =k₁=k^2/_T^k/₂

A_kвх==

Ф_kвх=arg(I_вх(j)) =k₁=k^2/_T^k/₂

Ф_kвх=arg(sin(4,71) sin(1,57))6,28= arg(sin(³/₄k) sin(¹/₄k))k

Таблица значений A_kвх, Ф_kвх при k=0,1,2…

k	Akвх	Фkвх
0	3	0
1	0,811	
2	0,405	
3	0,09	
4	0	
5	0,032	
6	0,045	5
7	0,017	5
8	0	6
9	0,01	9

Г рафик дискретного амплитудного спектра:

Г рафик фазового амплитудного спектра:

З апишем ряд Фурье:

I_вх(t)=1,5+0,811cos(^t/₂)+0,405cos(t-)+0,09cos(^3t/₂-)+0+0,032cos(^5t/₂-)+0,045cos(3t-)+ +0,017cos(^7t/₂-)+0+0,01cos(^9t/₂-)

Построим график входного сигнала

График входного сигнала, разложенного в ряд Фурье при 3 членах.

Г рафик входного сигнала, разложенного в ряд Фурье при 9 членах.

Таким образом можно сделать вывод, что при разложение сигнала в ряд Фурье при 3-х членах получается мало искаженный сигнал, но при использовании большего количества не нулевых членов, достигается более высокая точность.

11. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии.

Выходной сигнал представим в виде отрезка ряда Фурье.

i₂(t)=, где ₁=^2/_T¹/₂

Параметры C_k и _k можно посчитать следующим образом

=

= Ф_k-arctg(^k/₄)-arctg(^k/_4-k)

Таблица значений A_kвх, Ф_kвх при k=0,1,2…

K	Ck	k
0	3	
1	0,405	
2	0,201	
3	0,041	
4	0	
5	0,007	
6	0,006	4.9
7	0,001	5
8	0	6
9	0,0004	9

График дискретного амплитудного спектра:

График дискретного фазового спектра:

З апишем ряд Фурье:

I_вх(t)=0,75+0,405cos(^t/₂1,18)+0,201cos(t-1.4)+0,041cos(^3t/₂-1.6)+0+0,007cos(^5t/₂-0.75)+ +0,006cos(3t-0.8)+ +0,001cos(^7t/₂-0.9)+0+0,0001cos(^9t/₂-)

Построим график выходного сигнала

График выходного сигнала, разложенного в ряд Фурье при 3 членах.

Г рафик выходного сигнала, разложенного в ряд Фурье при 9 членах.

Т аким образом, можно сделать вывод, что сигнал запаздывает приблизительно на 1 секунду, амплитуда сигнала в 2 раза меньше, чем у выходного сигнала, что видно на графике.

Периодический сигнал проходя через данную цепь искажается незначительно, т.к. наибольшая по амплитуде гармоника его спектра попадает в полосу пропускания цепи. Ослабление более высоких гармоник приводит к некоторому сглаживанию переднего и заднего фронтов выходного сигнала.

Выводы по курсовой работе:

При выполнении курсовой работы была найдена передаточная функция цепи (H(S)), Знаменатель которой является характеристическим полиномом цепи, коэффициенты характеристического полинома положительны, исходя из которого вычислены нули и полюсы цепи. На основе H(s), было также найдены АЧХ и ФЧХ цепи.

Исходя из АЧХ мы можем определить данную цепь фильтр нижних частот, с полосой пропускания 2с.

Был исследован входной одиночный импульс, найден его амплитудный спектр, сравнивая ширину его спектра с шириной спектра АЧХ цепи, последовал вывод о деформации сигнала на выходе (время запаздывания = 1.19с, Передние и задние фронты сигнала сглажены), что подтверждается численными расчета в п.6.

Входное воздействие и реакция цепи были разложены в ряд Фурье, при этом использовалось преобразование Лапласа, были приведены графики сигналов, при 3 и 9 членах в ряде Фурье, что показало, что искажение сигнала при увеличении членов незначительное.

Оглавление:

1. Нормирование параметров………………………………………………………………2

2. Определение передаточной функции цепи Н(s)……………………………………….2

3. Расчет частотных характеристик цепи H(j). Построение графиков АЧХ, А() и ФЧХ, Ф(), а также графика амплитудно-фазовой характеристики (АФХ)……….3

5. Определение переходной h₁(t) и импульсной h(t) характеристик……………………5

6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе……..7

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействии…..9

10. Определение спектра периодического входного сигнала…………………………..12

11. Определение спектра периодического выходного сигнала…………………………14

Выводы по курсовой работе………………………………………………………………15