- •Глава 4. Анализ пассивных и активных линейных цепей в области комплексной переменной . (Операторный метод).
- •§1. Преобразование Лапласа, его основные свойства и теоремы.
- •§4. Анализ пассивных (активных) линейных цепей путем преобразования по Лапласу интегрально-дифференциальных уравнений Кирхгофа.
- •§5. Анализ пассивных и активных линейных цепей путем преобразования по Лапласу дифференциальных уравнений состояния.
- •§6. Передаточная функция цепи. Связь передаточной функции цепи с импульсной и переходной характеристиками цепи
- •§7. Вычисление передаточной функции цепи с помощью мун и мкт.
- •§2. Краткое описание аналитически-численного метода решения в обобщенных функциях и функционально-степенных рядах обыкновенных нелинейных интегрально дифференциальных уравнений.
- •§3. Краткое описание процедуры аналитически-численного метода
- •§4. Процедура аналитически-численного метода.
- •Глава 6. Расчет линейных цепей в области комплексной переменной
- •§1. Постановка задачи. Назначение метода. Понятие обобщенного сигнала, комплексной амплитуды и комплексной частоты.
- •§2. Законы Ома для элементов цепи и постулаты Кирхгофа для элементов структуры цепи в s-области.
- •§3. Процедура расчета вынужденных режимов в линейных цепях в области комплексной переменной sс помощью комплексных схем замещения.
- •§4. Процедура расчета линейных цепей в комплексной области с помощью уравнений Кирхгофа или уравнений состояния.
- •§5. Понятие комплексных функций цепи. Связь комплексной функции цепи с дифференциальным уравнением ее динамики.
- •§6. Процедура расчета переходного процесса в линейных цепях в области s.
- •§7. Расчет линейных цепей в установившемся гармоническом режиме.
- •§8. Частотные характеристики rLиRCцепей.
- •§9. Частотные характеристики rlc-цепей. Резонанс в простых колебательных контурах.
- •§1. Постановка задачи. Временное и спектральное представление гармонических и периодических негармонических сигналов, имеющих разложение в ряд Фурье.
- •§2. Законы Ома и Кирхгофа для элементов цепи и элементов структуры цепи в области s. Процедура расчета.
- •§3. Вычисление периодической реакции цепи в замкнутой форме операторным методом.
- •§1. Спектральное представление апериодических сигналов. Преобразование Фурье.
- •§2. Законы Ома и Кирхгофа. Процедура расчета переходного процесса в линейных цепях в частотной области.
- •§3. Использование частотного метода для формирования понятия искаженной передачи сигналов. Прохождение сигналов через цепь с характеристикой идеального фильтра.
- •§4. Примеры прохождения сигналов через дифференцирующие и интегрирующие цепи.
- •Глава 9. Некоторые дополнительные методы расчета цепей.
- •§1. Способ раскрытия определителей без понижения их порядка.
- •§2. Метод сигнальных графов.
- •Глава 10. Основы теории четырехполюсников.
§3. Краткое описание процедуры аналитически-численного метода
Аналитическая часть.
Основываясь на представлении и преследуя цель формирования выражения для коэффициентов и их вычисления. С учетом сделанного замечания относительно перемножения сингулярных составляющих предположим для простоты, что в Н(х) есть только произведения регулярных составляющих.
Искомое решение подставляем в Н(х) уравнения :, гдеT(t) – матрица тождественно заменившая Н(х), в которой все нелинейности унифицировано описаны по целым степеням времениt. В результате этой подстановки (1) тождественно преобразовано в (6), а матрица Н(х) тождественно замененаT(t); и уравнение (1) и (6) нелинейные, интегрально-дифференциальные.
Если привести все нелинейности к нелинейности по времени, это дает возможность преобразовать их по Лапласу.
Преобразовав (6) по Лапласу получим: , где А(р),G(p) – матрицы полученные из исходных заменой операторов дифференцирования и интегрирования.
Х(р) – вектор изображений искомых переменных
F(p) – вектор изображений известных воздействий
Q(p) – матрица-столбец предначальных условий
Т(р) – матрица-столбец, полученная путем замены
С(р) – приведенная правая часть
В итоге такого преобразования исходное нелинейное интегрально-дифференциальное уравнение (1), составленное относительно искомых временных функций x(t), тождественно преобразовано к линейному алгебраическому уравнению (7), записанному относительно изображений Х(р).
Решение уравнения (7).
Уравнение (7) тождественно уравнению (1), но при этом оно принципиально заключает в себе искомое решение в виде рядов и, следовательно, это уравнение может быть решено только приближенно.
(8)
Получено изображение точного решения. Если перевести его во временную область, то мы получим точное решение уравнения (1). Однако это решение существует в форме ряда.
2 проблемы:
Выражение (8) распадается на 2 части: изображение сингулярной составляющей, оно существует только в те моменты времени, когда в решении есть разрывы первого рода и они дифференцированы – это изображение конечного числа дельта-функций различных порядков, поэтому нет вопроса о существовании и единственности оригинала. Вторая часть – изображение регулярной составляющей, вопрос о существовании и единственности есть. Должны доказать, что это решение является рядом Тейлора, существует и единственно.
Формулировка условий существования и единственности регулярных составляющих решения обыкновенных нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений.
Условия существования решений.
Полагаем, что решение разложимо в ряд Тейлора.
Ряд (9) сходится равномерно и абсолютно, если
Решение может быть разложено в ряд Тейлора, который сходится равномерно и абсолютно.
Согласно признаку Вейерштрасса, абсолютная равномерная сходимость ряда (9) на t>0 следует из сходимости его числовой мажоранги.
1) Если последовательность такова, что среди них есть максимум , то
Если числовой ряд в правой части (14) сходится при всех , то согласно признаку сравнения числовых рядов ряд (9) также сходится. Если среди коэффициентов есть максимум, то существует регулярная составляющая и она может быть представлена в виде ряда Тейлора.
3) Если при образован максимум, то
Числовой ряд в правой части (15) сходится при выбранном , согласно признаку сравнения числовых рядов, числовой ряд (9) также сходится. Таким образом, если подбором величинысреди коэффициентов удалось образовать максимум, то существует регулярная составляющая и она может быть описана рядом Тейлора.
Решение справедливо только для одного l, поэтому это исследование надо проводить для всех скалярных составляющихx(t), получить для них, выбрать из них минимальный и в пределах этого значения будут справедливы последующие действия.
Доказательство единственности.
Разложение в ряд Тейлора единственно. Если в результате аналитической части метода получено несколько изображений регулярных составляющих с различными коэффициентами, то исследование существования проводится для каждого из них. Ответ на вопрос о единственности заключается в том, что мы проверяем все полученные. Других аналитических решений поставленной задачи не существует.
Численная часть метода.
В численной части метода, построив сингулярную составляющую, необходимо далее: во-первых ограничить ряд, описывающий регулярную составляющую, полиномом Тейлора порядка ; во-вторых сделать шаг, определить приближенное решениеи в замкнутой форме оценить его по отношению к известному.
Построим минимальную оценку, исследовав комбинации среди приведенных коэффициентов.
Если есть максимум , то тогда справедливо:
Точное решение заключается в промежутке:
2) Существует максимум , то верхняя оценка:
3) Существует максимум , то верхняя оценка:
Если ни одна из оценок не подходит, то решение неустойчивое.