- •Отношение эквивалентности
- •Свойства бинарных отношений
- •Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.
- •Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.
- •Элементы комбинаторики.
- •Свойства числа сочетаний
- •Определитель n-го порядка.
- •Разложение определителя по строке (столбцу).
- •Правило Крамера
- •Следствия из теоремы.
- •Решение матричных уравнений
- •Комплексные числа
- •Алгебраические операции над комплексными числами.
- •Линейные пространства
- •Линейная зависимость векторов .
- •Базис. Размерность.
- •Ранг матрицы
- •Матрица перехода
- •Система линейных уравнений
- •Теорема Кронекера - Капели
- •Система линейных однородных уравнений
- •Система однородных уравнений.
- •Линейные преобразования
- •Евклидово пространство
- •Свойства скалярного произведения
- •Процесс ортоганизации.
- •Векторная алгебра.
- •Скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
- •Двойное векторное произведение
- •Уравнение прямой и плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Некоторые задачи о прямых и плоскостях.
- •Уравнение плоскости, проходящее через три заданных числа.
- •Расстояние от точки a до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение касательной к эллипсу
- •Гипербола
- •Парабола
- •Поверхность второго порядка
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Конус второго порядка
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Математический анализ
- •Абсолютная величина u ее свойства
- •Последовательности.
- •Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Сходящиеся последовательности .
- •Монотонные последовательности.
- •Число е
- •Функция
- •Предел функции.
- •Непрерывные функции.
- •Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.
- •Разрыв первого рода (конечный скачок)
- •Разрыв второго рода.
Система линейных уравнений
Рассмотрим систему уравнений общего вида
(1) её можно переписать в виде
Решение системы (1) сводится к задаче о разложении столбца свободных членов по столбцам . Для этого необходимо и достаточно, чтобы столбцы расширенной матрицы и столбцы матрицы коэффициентов имели одинаковые ранги.
(2) (3)
rang = rang (4)
Теорема Кронекера - Капели
Критерии совместности системы линейных уравнений.
Для совместной системы (1) необходимо и достаточно чтобы rang = rang (расширенной) (соотношение (4)).
С помощью теоремы Кронекера – Капели можно реализовать другой подход к решению систем линейных уравнений.
Пример. Решить систему уравнений.
Выпишем матричные коэффициенты А
Найдем ранг матрицы А по формулам окаймляющих миноров.
- корневой определитель.
rang A = 2
Вычислим rang расширенной матрицы А.
rang = 2
Общее решение представлено в виде
Система линейных однородных уравнений
Система линейных однородных уравнений
(5)
Система однородных уравнений всегда совместна , так как она с одной стороны обладает нулевым решением с другой стороны нулевой столбец не может изменить ранга матрицы коэффициентов . Заметим для того, чтобы однородная система уравнений обладала не нулевым решением, нужно потребовать, чтобы ранг матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных .
Множество решений системы однородных уравнений обладает любопытными свойствами .
Свойства:
1)Если вектор является решением системы однородных уравнений , то вектор также является решением системы однородных уравнений.
Доказательство : i – тое уравнение системы (5) можно представить в виде
Пусть вектор с координатами , является решением системы(5) тогда .Подставим координаты в левую часть i – того уравнения получим
Так как вектор является решением системы (5) , получим что выражение было искомое . В силу произвольности выбора i –того уравнения свойство 1 доказано.
2) Если вектора и являются решением системы (5) , то их линейная комбинация также является решением системы (5) .
Доказательство : Пусть вектор и является решением системы (5) .Составим линейную комбинацию векторов и .
Подставим координаты линейной комбинации в i-тое уравнение системы (5).Получим
В силу дистрибутивности следует
Так как вектора является решением системы (5)получим .
В силу произвольности выбора i –того уравнения свойство 2 доказано.
Доказанные свойства позволяют говорить о множестве решений систем линейных однородных уравнений как о линейном пространстве .
Система однородных уравнений.
(1)
Множество решений системы (1) является линейным пространством , ранее линейное пространство определяемое базисом , порождающим линейное пространство.
Определение: Базис пространства решений системы (1) называется фундаментальной системой решения.
Теорема: Если ранг r матрицы коэффициентов r<n, то система обладает фундаментальной системой решений.
Доказательство: Пусть для определенности базисный минор порядка r, расположенного в верхнем левом углу, тогда систему(1) можно переписать в эквивалентном виде:
(2)
Корневой определитель системы (2) . Общее решение системы может быть получено по методу Крамера в зависимости от n-r параметров. Найдем n-r частных решений системы (2), таким образом, что бы значения свободных параметров образовывали единичную матрицу порядка n-r.
Построенная система векторов, линейно независима, т.к. составлена из координат векторов матрицы
Замечаем в этой матрице минор порядка
Для доказательства теоремы остается доказать, что любое решение системы(1) является линейной комбинацией выписанных векторов.
Возьмем произвольный вектор , являющийся решением системы(1), рассмотрим вектор ,
Согласно свойствам решений, однородных линейных уравнений, вектор также является решением системы(1).
Заметим, что в координатной форме можно представить в виде:
Являясь решением системы, , должен удовлетворять соотношением (2), причем свободные параметры равны 0.
Решая систему (2) при нулевых параметрах, получим что
т.е. является нулевым и произвольное решение системы(1) можно представить в виде: , т.е. построена система векторов является фундаментальной системой решений для системы(1).
2.28 Пример:
Найдем общее решение по методу Гаусса.
RangA=2
общее решение
Для построения фундаментальной системы общего решения, рисуют вспомогательную таблицу.
v v
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
1 |
Решение можно представить в векторном виде, - произвольные величины.
Для построения фундаментальной системы решений, не обязательно использовать единичную матрицу, необходимо записать матрицу порядка n-r, которая отлична от нуля.
В некоторых случаях приходится решать обратную задачу, при заданном базисе найти систему уравнений, решение которой совпадает с линейным пространством, натянутый на этот базис.
Пример: пусть базис состоит из векторов и .
Рассмотрим произвольный вектор , вектор является линейной комбинацией векторов . . Это означает, что вектора , линейно зависимы, то есть ранг матрицы коэффициентов составленных из этих векторов не может равняться 3.
Составим из коэффициентов векторов матрицу:
Разложение будет иметь место, когда ранг матрицы, составленный из векторов . Элементарными преобразованиями строк записанной матрицы, решим вопрос о рангах матрицы векторов , и ранге расширенной матрицы
~ ~ ~
~ ~ ~
~
ранг расширенной матрицы=2
Таким образом, получили систему уравнений.
Линейные неоднородные уравнения
(3)
Наряду с системой (3) рассмотрим соответственную систему однородных уравнений
(4)
Система (4) называется приведенной системой неоднородного уравнения (3), непосредственно проверкой устанавливаются следующие свойства в системы (3)
10 Пусть произвольные решения системы (3), тогда являются произвольным решением системы (4).
20 Если некоторое решение системы (3), то общее решение системы (3) имеет вид , где -фундаментальная система решения приведенной системы решений (3) в векторном виде.
Таким образом, общее решение системы (3) представлена в векторном виде.
(5)
В соотношение (5) - частное решение системы (3); - вектора фундаментальной системы решений (3).
Частным случаем представления (5) является векторное, параметрическое уравнение прямой.
Определение: Множество решений системы (3) называются линейным многообразием.
Из выражения (3) следует, что линейное многообразие получается из линейного пространства сдвигом на некоторой вектор частного решения.
Пример: решите систему неоднородных уравнений в векторном виде.
Пусть параметры нулевые.
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
-5 |
0 |
0 |
3 |
Общее решение можно представить в виде: