- •Отношение эквивалентности
- •Свойства бинарных отношений
- •Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.
- •Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.
- •Элементы комбинаторики.
- •Свойства числа сочетаний
- •Определитель n-го порядка.
- •Разложение определителя по строке (столбцу).
- •Правило Крамера
- •Следствия из теоремы.
- •Решение матричных уравнений
- •Комплексные числа
- •Алгебраические операции над комплексными числами.
- •Линейные пространства
- •Линейная зависимость векторов .
- •Базис. Размерность.
- •Ранг матрицы
- •Матрица перехода
- •Система линейных уравнений
- •Теорема Кронекера - Капели
- •Система линейных однородных уравнений
- •Система однородных уравнений.
- •Линейные преобразования
- •Евклидово пространство
- •Свойства скалярного произведения
- •Процесс ортоганизации.
- •Векторная алгебра.
- •Скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
- •Двойное векторное произведение
- •Уравнение прямой и плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Некоторые задачи о прямых и плоскостях.
- •Уравнение плоскости, проходящее через три заданных числа.
- •Расстояние от точки a до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение касательной к эллипсу
- •Гипербола
- •Парабола
- •Поверхность второго порядка
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Конус второго порядка
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Математический анализ
- •Абсолютная величина u ее свойства
- •Последовательности.
- •Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Сходящиеся последовательности .
- •Монотонные последовательности.
- •Число е
- •Функция
- •Предел функции.
- •Непрерывные функции.
- •Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.
- •Разрыв первого рода (конечный скачок)
- •Разрыв второго рода.
Уравнение касательной к эллипсу
Пусть , лежит на эллипсе, уравнение которой имеет вид . Проведём через точку производную прямую и найдём координаты второй точки пересечения прямой и эллипса. Прямая называется секущей. Если будет двигаться к , следовательно, получится касательная.
Зададим секущую прямую уравнением:
где t-параметр, - координаты направляющего вектора.
Для нахождения точки , подставим координаты прямой в уравнение эллипса.
=>
Так как точка лежит на эллипсе, то последнее уравнение можно переписать в виде.
, где к – угловой коэффициент.
вынесем параметр t за скобку.
Для определения параметра t, мы должны приравнять каждый множитель к 0. При t=0; получим , приравняв к нулю круглую скобку, найдем координаты точки , для того чтобы точки и совпадали, необходимо потребовать, чтобы значение t=0 обращало в ноль круглую скобку, подставим значение t=0, получим соотношение.
Найдём угловой коэффициент k, определяющий уравнение касательной:
подставляем найденные значения к в уравнение прямой, проходящей через .
-уравнение касательной к эллипсу, проходящее через т.
Обычное уравнение касательной записывается в более симметричном виде. Для этого приводят выражение к общему знаменателю
Замечаем, M0 лежит на эллипсе, т.е. удовлетворяют уравнению
Уравнение касательной к эллипсу может быть представимо в виде:
- уравнение касательной к эллипсу.
Касательная к эллипсу в точке M0 (x0,y0) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Гипербола
Определение: Гиперболой называется линия, которая в некоторой, декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением:
(1)
Из уравнения (1) вытекает, что первая координата точек гиперболы удовлетворяет неравенству . Точки гиперболы расположены, в виде вертикальной полосы, шириной 2а. Гипербола пересекает ось абсцисс в точках (a,0) (-a,0). Эти точки называются вершинами гипотенузы. Величина а называется действительной полуосью гиперболы. Гипербола не пересекается с осью ординат.
Величина b называется минимальной полуосью гиперболы. Координаты x, y входящие в уравнение во вторых степенях, поэтому справедливо 10. Оси координат являются осями симметричными гиперболе, а начальные координаты- центром симметрии гиперболы, для определения формулы гиперболы выпустим из начала координат систему лучей. И исследуем точки пересечения с гиперболой.
10 Оси канонической системы координат гиперболы являются осями симметрии, а начало канонической системы, центром симметрии.
Для исследования формы гиперболы найдем её пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде . Абсциссу точек пересечения находится из уравнения :
Это позволит узнать координаты двух точек пересечения.
В силу симметричности достаточно рассмотреть формулу гиперболы в I четверти. Произвольный луч, выходящий из начала координат y=kx. Подставляя точки луча в уравнение гиперболы:
В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек, при изменении k. Числитель дроби постоянный, а знаменатель принимает наибольшее значение при k=0, следовательно, наименьшую абсциссу имеет точка с координатами (a,0), с ростом k знаменатель убывает и абсцисса х растет бесконечно, когда k приближается к числу b/a. Прямая y=bx/a с угловым коэффициентом b/а не пересекает гиперболу и прямые с большим угловым коэффициентом также больше её не пересекает.
Определение: прямые с уравнениями y=bx/a b y=-bx/a в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. С гиперболой связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть с2=а2+b2 и с>0.
Фокусами гиперболы называются точки F1, F2 c координатами соответственно (c,0), (-c,0). Отношение называют экстрацентритетом у гиперболы .
20 Тока М лежит на гипотенузе тогда и только тогда, когда разность расстояний до фокусов гипотенузы по абсолютной величине равна 2а.
-эксцентриситетом гипотенузы E>1.С гипотенузой связаны 2 замечательные прямые, называемые её директрисами. Уравнение директрис имеет вид:
30 Точка М лежит на гипотенузе, если отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равной E .
. Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично уравнению касательной к эллипсу, и имеет вид.