24. Модель Хольта-Винтерса. Предпосылки к ее применению. Использование для прогнозирования.

Многие продукты имеют тенденцию роста или падения продаж, особенно когда они производятся впервые или когда появляются конкурирующие товары. Для некоторых продуктов существенны сезонные изменения уровня продаж, поэтому для прогноза продаж товара целесообразно учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. На основе модели Хольта Уинтерс (Винтерс, Winters) создал свою прогностическую модель, которая учитывает экспоненциальный тренда и аддитивную сезонность. Применяется модель для временных рядов с короткой выборкой.

Пусть задан временной ряд: y_t…y_i, где y_i €R

y^_t+τ=(L_t+T_t* τ)*S_{t+ τ-m}

Где m – длина периода сезонности

S – сезонная компонента

0≤α₁ β₁ γ≤1

L_t= α*y_t/S_t-m+(1- α)(L_t-1+T_t-1)

T_t= β(L_t-L_t-1)+(1- β)*T_t-1

S_t= γ*y_t/L_t+(1- γ)*S_t-m

Для первого цикла сезонность можно задать: t=1…m

1)L₁=(y_1+…+y_m)/m

T_t=0

S_t=y_t/L_t

2)L₀ и T₀ находим проведя прямую линию через середину первых двух циклов сезонности. L_t=L_t-1+T_t-1, T_t=T_t-1, S_t=y_t/L_t

Недостаток данной модели в том, что задействованы 3 параметра, которые не зависимы друг от друга и все = от 0 до 1.

y^_{t+ τ}=L_t+T_t* τ

L измеряется с помощью функции ОТРЕЗОК, T – НАКЛОН/

Модель плохо работает для коротких периодов, т.к работа начинается только со второго периода. Поэтому и ошибки считаются со второго периода. Моделью являются последние значения L и T – константы.

25. Автокорреляционная функция. Определение и применение для анализа тенденций во временном ряду.

Расчет автокорреляционной функции временных рядов необходим при анализе качества прогнозирования.

Автокорреляция - это корреляция уровней ряда друг с другом, т.е. кор­реляция внутри одного и того же временного ряда, но с определенными сдви­гами во времени.

Методика состоит из последовательного вычисления коэффициентов авто­корреляции отклонений с разными сдвигами во времени. В общем виде коэф­фициент автокорреляции порядка т, т.е. со сдвигом (запаздыванием, лагом) на т периодов времени, вычисляется по формуле:

Первые т -1 отклонений от тренда и последние т -1 отклонений участ­вуют в произведениях (в числителе) по одному разу, остальные - дважды. Со­ответственно, в знаменателе первые т -1 квадратов и последние т -1 квадра­тов входят с половинным весом в сравнении с остальными отклонениями.

где r_m - коэффициент автокорреляции для запаздывания в т периодов; y_i - i-й уровень ряда; y_i-m - наблюдение на т периодов ранее, т.е. в момент времени i-m

Коэффициент автокорреляции для различных запаздываний величины во времени может использоваться для получения ответа на следующие вопросы о наборе данных, являющихся временным рядом:

• являются ли данные случайными;

• имеют ли данные тренд;

• являются ли данные стационарными;

• имеют ли данные сезонные колебания.

Если ряд данных случаен, то коэффициенты автокорреляции между y_i и y_i-m для любого запаздывания т близки к нулю. Последовательные значения временного ряда не связаны друг с другом.

Если у ряда существует тренд, значения y_i, и y_i__m имеют сильную корре­ляцию, причем коэффициенты автокорреляции существенно отличны от нуля для первых нескольких периодов запаздывания, а с увеличением периода по­степенно убывают до нуля.

Если ряд имеет сезонную компоненту, значительный коэффициент авто­корреляции будет наблюдаться для периодов запаздывания, равных сезонному периоду или кратных ему. Сезонный период запаздывания равен 4 при еже­квартальных наблюдениях и 12 — при ежемесячных наблюдениях. Коэффициент автокорреляции для времени запаздывания, равного одному периоду, часто очень велик (близок к 1). Коэффициент автокорреляции для времени запазды­вания, равного двум периодам, также будет большим. Однако он не будет та­ким большим, как для времени запаздывания в один период.

Известно , что коэффициент автокорреляции случайных данных имеет выборочное распределение, которое может быть аппроксимировано нормаль­ной кривой со средним, равным 0, и среднеквадратическим отклонением 1/ /n. Зная это, аналитик может сравнить выборочные коэффициенты автокор­реляции с этим теоретическим выборочным распределением и определить для заданных периодов отставания, взяты ли эти значения из генеральной совокуп­ности, среднее значение которой равно нулю.

Для автокорреляции, соответствующей запаздыванию в т периодов, ис­пользуется стандартная ошибка

(4.4)

где ri, - автокорреляция с запаздыванием i ; т - время запаздывания; п - длина ряда.

Формула (4.4) дает возможность быстро проверить наличие автокорре­ляции любого временного ряда. Для этого необходимо сравнить коэффициен­ты автокорреляции, вычисляемые по формуле, с их пределами, вычисляе­мыми по формуле (4.4). Если коэффициенты автокорреляции будут выходить за допустимые пределы, то с вероятностью 95% можно отвергнуть гипотезу об от­сутствии автокорреляции.