Алгебра
1. Бінарні відношення. Відношення еквівалентності і розбиття на класи, фактор-множина.
2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції, різні форми індукції.
3. Групи, приклади груп, найпростіші властивості груп. Підгрупи. Гомоморфізми та ізоморфізми груп.
4. Кільця, підкільце, означення і найпростіші властивості. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець.
5. Поле, підполе. Найпростіші властивості поля. Поле дійсних чисел.
6. Поле комплексних чисел. Алгебраїчні і тригонометричні форми комплексного числа.
7. Системи лінійних рівнянь та елементарні перетворення. Розв’язування системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
8. Арифметичний векторний простір. Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів. Ранг і базис скінченної системи векторів.
9. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь (теорема Кронекера-Капеллі). Існування ненульових розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь.
10. Векторні простори. Базис і розмірність скінченновимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
11. Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. НСД і НСК двох чисел, зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
12. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Канонічних розклад складеного числа та його єдність.
13. Означення та основні властивості числових конгруенцій. Повна і зведена системи лишків, їх властивості. Теореми Ейлера і Ферма.
14. Лінійні конгруенції з одним невідомим, теореми про число розв’язків. Способи розв’язування лінійних конгруенцій.
15. Арифметичні застосування теорії конгруенцій (виведення ознак подільності, знаходження довжини періоду десяткового дробу).
16. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. НСД двох многочленів і алгоритм Евкліда.
17. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел.
18. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем R многочлени.
19. Многочлени над полем раціональних чисел. Цілі і раціональні корені многочленна з цілими коефіцієнтами. Незвідні над полем Q многочлени.
20. Будова простого алгебраїчного розширення поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.
Геометрія
1. Пряма на площині. Способи її задання. Загальне рівняння прямої. Взаємне розміщення двох прямих на площині. Метричні задачі.
2. Лінії другого порядку. Еліпс, гіпербола. Парабола. Класифікація ліній другого порядку на евклідовій площині.
3. Скалярний, векторній, мішаний добутки векторів. Властивості, обчислення і застосування.
4. Площина в просторі. Способи її задання. Загальне рівняння площини. Взаємне розміщення двох площин. Метричні задачі.
5. Пряма в просторі. Способи її задання. Взаємне розміщення двох прямих в просторі. Метричні задачі.
6. Циліндричні та конічні поверхні. Поверхні обертання.
7. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди. Класифікація поверхонь другого порядку в евклідовому просторі.
8. Група рухів площини. Задання рухів. Їх аналітичний запис і класифікація.
9. Група перетворень подібності площини. Гомотетія. Способи задання перетворень подібності.
10. Група афінних перетворень площини. Задання афінних перетворень. Їх аналітичний запис.
11. Проективний простір та його моделі. Принцип двоїстості. Теорема Дезарга.
12. Група проективних перетворень площини. Задання проективних перетворень. Їх аналітичний запис.
13. Система аксіом Вейля. Їх повнота і несуперечливість.
14. Аксіома паралельності і площина Лобачевського. Основні наслідки з аксіом Лобачевського.
15. Многокутники. Площа многокутника. Теорема про існування та єдність. Рівно великість і рівно складеність многокутників.
16. Геометричні побудови на площині. Система постулатів побудов за допомогою циркуля та лінійки. Найпростіші побудови. Огляд основних методів розв’язування задач на побудову.
17. Топологічні простори. Гомеоморфізми. Топологічні многовиди. Ейлерова характеристика двовимірного многовиду.
18. Зображення плоских і просторових фігур у паралельній проекції. Теорема Польке-Шварца. Позиційні й метричні задачі.
19. Лінії в евклідовому просторі. Кривизна та скрут лінії. Формули Френе.
20.Поверхні в евклідовому просторі. Дотична площина й нормаль до поверхні. Перша квадратична форма та її застосування.
До геометрії
1. Способи задання прямої, відповідні рівняння (без доведення). Загальне рівняння прямої, теорема (з доведенням). Дослідження взаємного розміщення двох прямих (схематично). Метричні задачі (формули без доведення).
2. Еліпс (детально – означення, виведення рівняння, дослідження властивостей за рівнянням). Гіпербола, парабола (схематично – означення, формула). Загальне рівняння ліній другого порядку. Методика спрощення (вказати основні етапи). Канонічне рівняння усіх рипів ліній другого порядку.
3. Скалярний добуток (означення, властивості, застосування без доведення). Векторний добуток (ті ж етапи з доведенням). Звернути увагу на обчислення в ДСК. Мішаний добуток (це ж схематично).
4. Способи задання. Відповідне рівняння (без доведення). Загальне рівняння. Теорема (з доведенням). Взаємне розміщення двох площин (схема дослідження). Метричні задачі. Формули (без доведення).
5. Способи задання (без доведення). Формули, взаємне розміщення двох прямих (через компланарність) детально. Метричні задачі (першу детально, решта формули).
6. Циліндричні поверхні (означення, способи задання, виведення рівняння, приклади). Конічні поверхні. Поверхні обертання (для цих поверхонь теж саме без виведення рівняння).
7. Еліпсоїд (означення і дослідження властивостей). Гіперболоїди (означення). Параболоїди (означення). Загальне рівняння поверхні другого порядку. Схема зведення до канонічного вигляду. Типи поверхонь другого порядку (17 шт.).
8. Означення, приклади. Теорема про задання рухів парою ортонормованих реперів (з доведенням). Формули, що визначають рух (без виведення). Класифікація рухів (результат). Пояснити, чому рухи утворюють групу (основні етапи перевірки – композиція рухів, тотожне, обернене перетворення).
9. Означення, гомотетія (довести, що є перетворення подібності). Теорема про розклад перетворення подібності в добуток гомотетії та руху (з доведенням). Аналітичне задання (формули). Пояснити, чому перетворення подібності утворюють групу (композиція двох перетворень подібності з коефіцієнтом k1 і k2 є перетворення подібності з коефіцієнтом k1k2, тотожне – з коефіцієнтом 1, обернене – з коефіцієнтом 1/k1).
10. Означення, теорема про задання афінного перетворення парою реперів (з доведенням). Аналітичне задання (формули). Пояснити, чому афінні перетворення утворюють групу.
11. Означення. Дві основні моделі. Принцип двоїстості (суть, приклади).
12. Означення. Теорема про задання проективного перетворення площини парою реперів (з доведенням). Аналітичне задання (формули). Група проективних перетворень (чому).
13. Сформулювати аксіоми. Несуперечливість (побудова моделі – матричну. Коротко повнота системи аксіом.
14. Абсолютна геометрія та V постулат Евкліда. Аксіома Лобачевського та наслідки з неї. Кут паралельності. Функція Лобачевського (без доведення). Модель Келі-Клейна (коротко).
15. Поняття многокутника, характеристика (без доведення). Площа многокутника (довести існування). Єдність площі (обґрунтувати, виходячи з лем 1, 2, які не доводити). Рівно великість та рівно складеність многокутників. Взаємозв’язок між цими відношеннями (відношення еквівалентності, рівноскладені є рівновеликими і обернене – відношення рівно великості і рівно складеності збігаються).
16. Поняття задачі на побудову. Аксіоми циркуля та лінійки. Найпростіші побудови на площині. Огляд основних методів з простими ілюстраціями. Критерій розв’язності задачі на побудову і приклади класичних нерозв’язних задач (квадратура круга, трисекція кута, подвоєння куба).
17. Означення топологічного простору, приклади (обов’язково розглянути метричні простори). Неперервні відображення. Гомеоморфізми (обов’язково навести приклади гомеоморфних та негомеоморфних просторів). Многовиди, ейлерова характеристика (приклади).
18. Паралельна проекція (означення, властивості без доведення). Означення зображення фігури в паралельній проекції. Теорема про зображення плоских фігур (без доведення). Теорема Польке-Шварца (з доведенням). Поняття про позиційні і метричні задачі з наведенням прикладів (позиційні – побуд. пер.).
19. Поняття лінії. Способи задання. Дотична до лінії. Довжина дуги. Натуральна параметризація (коротко). Формули Френч (детально вивести, пояснити, що описує). Кривизна та скрут лінії (формули для обчислення, теорема без доведення).
20. Поняття поверхні. Способи задання. Дотична площина та нормаль до поверхні (формули). Перша квадратична форма (знаходження коефіцієнтів, застосування з доведенням).
Задачі
1. Аналітична геометрія на площині і в просторі (прямі, площини, лінії і поверхні другого порядку).
2. Задачі з диференціальної геометрії (довжина дуги лінії, знаходження рухомого репера, кривизна та скрут, дотична площина і нормаль, застосування першої квадратичної форми, застосування другої квадратичної форми – нормальна кривизна).