Лабораторная работа №1

Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет

Кафедра АПУ

Теория автоматического управления

Первое практическое занятие

“Исследование характеристик типовых звеньев систем автоматического регулирования”

Выполнили:

Гр.1321:

Волох К.А.

Соловьев Д.

Петренко В.

Гюнтер А.

Проверил:

Душин С.Е.

Санкт-Петербург 2003г.

Задача 1.1 Для безынерционного звена, описываемого уравнением y(t) = 2*f(t), или ПФ W(s) = 2 ,определить переходную и частотные характеристики (АФХ и ЛЧХ). k=2;L=-60;

АФХ: W(jw) = 2 = 2e^j0; АЧХ: W(w) = 2;

ЛФХ: L(w) = 20lg2 = 6; ФЧХ: F(w) = 0; (W(jw)=A(w)e ^jF(w))

h(t)= 2δ1(t)

1. При k = 2*10 L(w) = 20lg20 = 26 ∆=26-6=20

При k = 2.2 = 1 L(w) = 20lg1 = 0 ∆=6-0=6

2. -60 = 20lg(k) => -3 =lg(k) => k=10^-3 = 0.001.

Задача 1.2 Для интегрирующего звена, описываемого дифференциальным уравнением вида 0.5dy(t)/dt = f(t) или передаточной функцией W(s) = 1/(0.5s) = 2/s ,определить переходную и частотные характеристики (АФХ и ЛЧХ). T=0.5; L=-60;

АФХ: W(jw) = 2/(jw) = -j(2/w); АЧХ: W(w) = 2/w;

ЛФХ: L(w) = 20lg(2/w); ФЧХ: F(w) = -90;

h(t)=2t;

1. Найти h(t) при t=1с. h(t)=[W(s)/s] ÷ t; W(s)/s= 2/s² ÷ 2*t;

h(t)=k*t=2*1=2;

2. Найти L(w) при w=k=1/T; L(2)=20lg(2/2)=0;

Найти F(w) при w=k=1/T; F(2)=-π/2;

3. При T=2*.5=1; W(s)=1/s;

АФХ: W(jw)=-j(1/w);

ЛЧХ: L(w)=20lg(1/w);

4. Найти T при котором L(w=10 с^-1)=-60;

-60=20lg(k/10) => -3=lg(k)-lg10 => -2=lg(k) => k=10^-2 =0.01 => T=100;

Задача 1.3 Для дифференцирующего звена, описываемого уравнением вида y(t) = 0.5df(t)/dt или передаточной функцией W(s)=0.5s ,определить переходную и частотные характеристики (АФХ и ЛЧХ).T=0.5;w=1;

АФХ: W(jw) = j(0.5w) = 0.5w*e^j90 АЧХ: W(w) = 0.5w;

ЛФХ: L(w) = 20lg(0.5w); ФЧХ: F(w) = 90;

h(t)=0.5δ(t)

1. Как отражается параметр T на переходной характеристике звена.

При T -> ∞ W(w)-> ∞; h(t)-> ∞;

При T-> 0 W(w)-> 0; h(t)-> 0;

2.Как изменяется L(w) при T=1; L(w)=20lg(1*w)

При T=0.25 L(w)=20lg(0.25*w)

3. Найти T при L(w=1 с^-1)=0;

0=20lg(T*1) => T=10⁰=1;

Задача 1.4 Для апериодического звена первого порядка, описываемого Дифференциальным уравнением вида 0.5dy(T)/dt+y(t)=2*f(t), или передаточной функцией W(s)=2/(0.5*s+1) ,определить переходную и частотные характеристики (АФХ и ЛЧХ).T=0.5;k=2;

_______

АФХ: W(jw) = 2/(1+j0.5*w) АЧХ: W(w) = 2/(√1+0.25w²)

ЛФХ: L(w) = 20lg(2/(√1+0.25w²)) ФЧХ: F(w) = -arctg(0.5w);

h(t) = [2/s – 1/(0.5s+1)] = 2 – 2*e^-2t;

1. L(w=1/T)=L(2)=20lg(2/1.4)=3.0; F(2)=-45;

L(w=0.1/T)=L(0.2)=5.97 F(0.2)=-5.7;

L(w=10/T)=L(20)=-14.0; F(20)=-84.2;

2. T=2; W(s)=2/(2s+1) =>h(t)=2t-2e^-0.5t;W(jw)=1/(0.5+jw);W(w)=1/(√(.25+w²));

L(w)=20lg(1/(√(.25+w²)));

T=0.125;W(s)=2/(0.125s+1) =>h(t)=t-e^-8t;W(jw)=16/(8+jw);W(w)=16/√ (64+w²);

L(w)=20lg(16/√(64+w²));

k=20;W(s)=20/(0.5s+1) => h(t)=20-20*e^-2t;W(jw) = 20/(1+j0.5*w);W(w) = 20/(√(1+0.25w²⁾);L(w) = 20lg(20/(√1+0.25w²));

k=0.2;W(s)=0.2/(0.5s+1) => h(t)=0.2-0.2*e^-2t;W(jw) = 0.2/(1+j0.5*w);W(w) = 0.2/(√(1+0.25w²⁾);L(w) = 20lg(0.2/(√1+0.25w²));

3. Найти Т, при котором для w<100 с^-1 значение L(w)>-3дБ, а значение

F(w) > -45^o, если коэффициент передачи k=1;

20lg(1/(√1+T²*(w<100)²))>-3; -arctg(T*(w<100))>-45;

lg(1/(√1+T²*(w<100)²))>-0.15; arctg(T*(w<100))>45;

lg1-lg(√1+T²*(w<100)²)>-0.15; arctg(T*(w<100))>arctg(1);

lg(√1+T²*(w<100)²)>0.15; T*(w<100)>1;

lg(√1+T²*(w<100)²)>lg1.41; T>1/(w<100);

√1+T²*(w<100)²)>1.41; T(0;0.01)

1+T²*(w<100)²>2;

T²*(w<100)²>1;T>1/(w<100)

T(-0.01;0)(0;0.01)

Ответ: T(0;0.01);

Задача 1.5 Для неустойчивых апериодических звеньев с Передаточной функцией вида W₁(s)=2/(1-0.5s); W₂=2/(0.5s-1); провести исследования в условиях задачи 1.4.

1)

АФХ: W(jw) = 2/(1-j0.5*w) АЧХ: W(w) = 2/(√(1-0.25w²))

ЛФХ: L(w) = 20lg(2/(√1-0.25w²)) ФЧХ: F(w) = -180+arctg(0.5w);

h(t) = 2 - 2*e^+2t;//Переходная характеристика бесконечно убывает, т.е ничем не ограничена!

2)

АФХ: W(jw) = 2/(-1+j0.5*w) АЧХ: W(w) = 2/(√(-1+0.25w²))

ЛФХ: L(w) = 20lg(2/(√-1+0.25w²)) ФЧХ: F(w) = -180+arctg(0.5w);

h(t) = -2 + 2*e^+2t;//Переходная характеристика бесконечно возрастает, т.е ничем не ограничена!

Задача 1.6 Для звена второго порядка, описываемого дифференциальным уравнением вида

0.5² *d²y(t)/dt²+2*0.5*0.1* dy(t)/dt +y(t) = 2*f(t) или передаточной функцией

W(s)=2/(0.25s²+0.1s+1) определить переходную и частотные характеристики (АФХ и ЛЧХ).T=0.5,k=2,ξ=0.1.

АФХ: W(jw) = 2/(1-0.25w²+j0.1w) АЧХ: W(w) = 2/(√(0.0625w⁴- 0.49w² +1))

ЛФХ: L(w) = 20lg(2/(√(0.0625w⁴- 0.49w² +1)))

ФЧХ: F(w) = -arctg(0.1w/(1-0.25w²)) w<2;-180+arctg(0.1w/(1-0.25w²) при w>2;

h(t) = 2+4e^-0.2tcos(2t-90);

1.При ξ>=1 Полином имеет 2 действительных отрицательных полюса, при ξ=1 –двукратный действительный полюс, при 0<ξ<1 корни комплексные с отрицательными действительными частями и звен называется колебательным, при ξ=0 корни мнимые. при ξ<0 звено становится неустойчивым, параметр k на полюсы многочлена не влияет.

2. Пик возникает при L(w_р)

при ξ=0.1 L(w_р)=20;

при ξ=0.2 L(w_р)=14;

при ξ=0.05 L(w_р)=26;

при ξ=0 L(w_р)=100;

при ξ=1 L(w_р)=0;//функция сглажена

3. ξ=0.1; Найти зависимость резонансной частоты w_р от постоянной времени T;

Резонанс наступает при ((1-T²w²)²+0.04T²w²)=0; 1-2*T²w²+T⁴w⁴+0.04T²w²=0;

T⁴w⁴-2T²w²+1=0

w²_1,2=(2T²±√(4T⁴-4*T⁴))/(2T⁴);

w²_1,2=(2T²)/(2T⁴)=1/T²;

w_1,2~1/T;

4. ξ=-0.2; Исследовать характеристики неустойчивого звена.

АФХ: W(jw) = 2/(1-0.25w²-j0.2w) АЧХ: W(w) = 2/(√(0.0625w⁴- 0.54w² +1))

ЛФХ: L(w) = 20lg(2/(√(0.0625w⁴- 0.54w² +1)))

ФЧХ: F(w) = arctg(0.2w/(1-0.25w²)) w<2;180-arctg(0.1w/(1-0.25w²) при w>2;

5. ξ= ξ_опт;T=0.5,k=2,W(s)=2/(0.25s²+ ξ s+1) Переходная характеристика-реакция на единичный скачок.

W(s)=8/(s²+4ξs+4);

s_1,2=-2ξ±2√(ξ²-1);

1)при ξ>1 или ξ<-1 корни действительные(вещественные) =>

H(t)=((2/√(ξ²-1))*e^{-(2ξ-2√(ξ²-1)*t} - (2/√(ξ²-1))*e^{-(2ξ+2√(ξ² -1)*t} )δ(t)

2)при ξ=1 s_1,2=-2 => H(t)=8*t*e^-2t

3)при -1<ξ<1 корни комплексные s_1,2=-2ξ±j2k, где k=√(1-ξ²);

H(t)=2*(2/k)*e^-2ξt*cos(2k-90);

Наиболее реально(быстро) затухающая функция представлена во втором пункте, т.к в 3) пункте присутствует косинус, который не позволяет переходной характеристике затухать монотонно, затухание происходит с периодами, в 1)-м пункте с увеличением ξ, увеличивается время затухания.

=> ξ_опт=1;

6. при ξ=1 s_1,2=-2;//корни действительные.

высота пика ЛАЧХ= 0//функция сглажена.