Лекция 15. Экспертные методы принятия решений

Достоинства. Понятие оптимальности получило строгое и точное представление в математических теориях, прочно вошло в практику проектирования и эксплуатации технических систем. Нахождение оптимальных вариантов особенно важно для оценки состояния современной техники и определения перспектив ее дальнейшего развития.

Ранее мы рассмотрели оптимизационные методы принятия решений при математическом моделировании сложных систем. Следует заметить, что оптимизационным методам присущи определенные достоинства и недостатки.

Значения параметров оптимальной альтернативы позволяет составить представление о принципиально непревосходимых пределах возможности технической системы. Сравнение с этими параметрами часто помогает решить вопрос о целесообразности дальнейших усилий по улучшению того или иного показателя качества системы. Часто оказывается, что в результате оптимизации уже имеющейся системы значение критерия качества можно повысить всего на несколько процентов. Это означает, что и без оптимизации достигнутое значение находится в окрестности оптимума. Однако нередко оптимизация вскрывает значительные резервы улучшения.

Недостатки. Оптимальное решение часто оказывается очень «хрупким», незначительные на первый взгляд изменения в условиях задачи могут привести к выбору существенно отличающихся альтернатив.

Оптимизация всегда опирается на предположение, что участвующие в задаче критерии достаточно хорошо отображают поставленную цель. Однако обычно моделируемая система является частью некоторой большей системы, тогда локальная оптимизация совсем не обязательно обеспечивает тот же результат, который потребуется от подсистемы при оптимизации системы в целом. Это приводит к необходимости увязывать критерии подсистем с критериями системы, часто делая ненужной локальную оптимизацию.

Максимизация (минимизация) критерия оптимальности часто отождествляется с целью, а на самом деле это разные вещи. Фактически критерий и цель относятся друг к другу как модель и оригинал со всеми вытекающими отсюда особенностями. Многие цели трудно или даже невозможно количественно описать, однако при необходимости это более или менее удачно делается. Надо иметь в виду, что количественный критерий служит лишь суррогатом цели. Например, уровень благосостояния населения оценивается такими количественными критериями, как средняя зарплата по стране, стоимость потребительской корзины; уровень медицинского обслуживания оценивается по показателям детской смертности. Естественно, эти показатели далеко не в полной степени характеризуют цель.

В понятии оптимальности кроме критериев важную роль играют ограничения. Даже небольшие их изменения существенно сказываются на решении. Еще более разительный эффект можно получить, снимая одни ограничения и добавляя другие. Не задав всех ограничений, можно получить непредвиденные и нежелательные сопутствующие эффекты. В качестве примеров можно привести государственные реформы последних лет, при разработке которых не были учтены все ограничения системы, поэтому их результаты оцениваются крылатой фразой: «хотели как лучше, а получилось как всегда».

Итак, оптимизация – это мощное средство, но использовать его следует все более осторожно по мере возрастания сложности проблемы. К тому же сложные системы называются сложными, потому что не поддаются полной формализации. В связи с этим оптимизационные задачи, которые удается поставить при исследовании сложных систем, неизбежно имеют частичный, подчиненный характер, если описывают хорошо структурированные подсистемы либо являются заведомо приближенными, если относятся к системе в целом. Поэтому оптимизация в таких исследованиях не конечная цель, а средство, промежуточный, а иногда и начальный этап.

При исследовании сложных систем часто возникают проблемы, выходящие за пределы формальных математических постановок задач. В этом случае единственно возможным способом выступает разработка экспертных систем принятия решений.

Пусть имеется самая простая ситуация многокритериальности – существуют только две цели системы T₁ и T₂ и только две возможные стратегии S₁, S_2. Пусть мы как-то оценили эффективность E₁₁ стратегии S₁ по отношению к T₁ и эффективность эта оказалась равной 0,4 (по некоторой шкале от 0 до 1). Проделав такую же оценку для всех стратегий и всех целей, мы получили матрицу эффективностей (табл. 8).

Таблица 8

E	T1	TТ2
S1	0,4	00,6
S2	0,7	0,3

Какую же из стратегий считать наилучшей? Пока мы не оговорим значимость каждой из целей, не укажем их веса, – рассуждать бесполезно. Если бы нам было известно, что первая цель, к примеру, в 3 раза важнее второй, то тогда можно было бы учесть их относительные веса, скажем, величинами 0,75 для первой и 0,25 для второй. При таких условиях суммарные эффективности стратегий (по отношению ко всем целям) составят:

– для первой: E₁ = 0,4 · 0,75 + 0,6 · 0,25 = 0,3 + 0,15 = 0,45;

– для второй: E₂ = 0,8 · 0,75 + 0,2 · 0,25 = 0,6 + 0,05 = 0,65.

Из расчетов видно, что наилучшей является стратегия S₂.

Итак, критерий эффективности системы при наличии нескольких целей приходится выражать через эффективности отдельных стратегий в виде: E_s =  S_tU_tТ, т. е. учитывать веса отдельных целей U_t.

Естественно, если изменить весовые коэффициенты, то изменится и результат моделирования системы. Поэтому тонкое место таких моделей – выбор весовых коэффициентов.

Очень редко весовые коэффициенты определяются однозначно по «физическому смыслу» задачи системного анализа. Чаще же всего их отыскание можно называть назначением, придумыванием, предсказанием, но никак не научными действиями.

Иногда, как ни странно это звучит, весовые коэффициенты назначаются путем голосования – явного или тайного. Дело в том, что в ситуациях, когда нет числового метода оценки веса цели, реальным выходом из положения становится использование накопленного опыта.

Нередко задает весовые коэффициенты непосредственно лицо, принимающее решение (ЛПР), но чаще его опыт управления подсказывает: одна голова – хорошо, а много умных голов – куда лучше. Принимается особое решение – использовать метод экспертных оценок, суть которого достаточно проста. Требуется четко оговорить все цели функционирования системы и предложить группе лиц, высоко компетентных в данной отрасли (экспертов), расположить все цели по значимости, по призовым местам или по рангам.

Высший ранг (обычно 1) означает наибольшую важность (вес) цели, следующий за ним – несколько меньший вес и т. д. Специальный раздел непараметрической статистики – теория ранговой корреляции – позволяет проверить гипотезы о значимости полученной от экспертов информации. Развитие ранговой корреляции, ее другой раздел, позволяет устанавливать согласие, согласованность мнений экспертов, или ранговую конкордацию. Это особенно важно в случаях, когда не только возникла необходимость использовать мнения экспертов, но и существует сомнение в их компетентности.

Экспертные оценки, ранговая корреляция и конкордация. Пусть в процессе системного анализа нам пришлось учитывать некоторую величину U, измерение которой возможно лишь по порядковой шкале. Например, нам приходится учитывать 10 целей функционирования системы и требуется выяснить их относительную значимость, удельные веса.

Если имеется группа лиц, компетентность которых в данной области не вызывает сомнений, то можно опросить каждого из экспертов, предложив им расположить цели по важности или ранжировать их. В простейшем случае можно не разрешать повторять ранги, хотя это не обязательно – повторение рангов всегда можно учесть. Предположим, мы воспользовались услугами двух экспертов. Результаты экспертной оценки в нашем примере представим таблицей рангов целей (табл. 9). Итак, для каждой из целей T_i мы можем найти сумму рангов, определенных экспертами, и затем суммарный или результирующий ранг цели R_i. Суммарный ранг – это ранг суммы рангов. Если суммы рангов совпадают, назначается среднее значение.

Таблица 9

Эксперты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Сумма
A	3	5	1	8	7	10	9	2	4	6	55
B	5	1	2	6	8	9	10	3	4	7	55
Сумма рангов	8	6	3	14	15	19	19	5	8	13
Суммарный ранг	4,5	3	1	7	8	9,5	9,5	2	4,5	6	55

Метод ранговой корреляции позволяет ответить на вопрос, насколько коррелированны, неслучайны ранжировки каждого из двух экспертов, а значит, насколько можно доверять результирующим рангам. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии связи между ранжировками и устанавливается вероятность справедливости этой гипотезы. Для этого можно использовать два подхода: определение коэффициентов ранговой корреляции Спирмена или Кенделла. Более прост в реализации первый. Вычислим значение коэффициента Спирмена:

Rs = 1 – ,

где d_i определим разностями рангов первой и второй ранжировок, n – количество целей в системе.

В нашем примере сумма квадратов разностей рангов составляет 30, а коэффициент корреляции Спирмена – около 0,818. Если посмотреть в таблицу критических значений коэффициентов корреляции, то при уровне значимости

р = 0,05 и n = 10 критическое значение коэффициента корреляции равно 0,648, что значительно меньше 0,818. Следовательно, значение Rs = 0,818 статистически значимо. Таким образом, мнения экспертов высоко коррелированны.

При необходимости можно воспользоваться услугами группы из m экспертов, установить результирующие ранги целей, но тогда возникнет вопрос о согласованности мнений этих экспертов. Коэффициент конкордации является альтернативой коэффициенту ранговой корреляции, если число экспертов больше 2.

Пусть у нас имеются ранжировки 4 экспертов (А, В, С, D) по отношению к 6 факторам (1, 2, 3, 4, 5, 6), которые определяют эффективность некоторой системы (табл. 10).

Таблица 10

	1	2	3	4	5	6	Сумма
A	5	4	1	6	3	2	21
B	2	3	1	5	6	4	21
C	4	1	6	3	2	5	21
D	4	1	2	3	5	6	21
Сумма рангов	15	9	10	17	16	17	84
Отклонение суммы от среднего значения Квадраты отклонений	+1 1	-5 25	-4 16	+3 9	+2 4	+3 9	0 64

Полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по 14 на фактор. Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы рангов для любого фактора определяется выражением

 = 0,5·4·7 = 14.

Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по отношению к 6 факторам. Для каждого из факторов вычисляется отклонение суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы. Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения разумно использовать их квадраты.

В нашем случае сумма таких квадратов составит S = 64, а в общем случае эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех экспертов по отношению ко всем факторам:

S_max = 16·210/12 = 280.

М. Кенделлом предложен показатель согласованности, или коэффициент конкордации, определяемый как

= 64/280 = 0,229.

В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около 0,229. При четырех экспертах и шести факторах этого достаточно, чтобы с вероятностью не более 0,05 считать мнения экспертов несогласованными.