Теорія статистичної оцінки

Предмет теорії статистичної оцінки – особливого роду метод судження про числові значення параметрів розподілу генеральної сукупності на підставі випадкової вибірки із цієї сукупності. У самому загальному смислі це судження ґрунтується на тім, що, знаючи результати вибіркового спостереження, ми намагаємося з можливо більшою точністю оцінити, які значення певних параметрів, від яких залежить розподіл змінної X, що нас цікавить, у генеральній сукупності.

Теорія статистичної оцінки включає два основних розділи: оцінка точкова й оцінка інтервальна. Точкова оцінка ґрунтується на тому, що вибирається деяка функція результатів спостереження й значення цієї функції приймається за найкраще наближення до справжнього значення параметра генеральної сукупності. Інтервальна оцінка ґрунтується на побудові (за результатами вибіркового спостереження) деякого числового інтервалу, що із заздалегідь певною ймовірністю містить у себе значення шуканого параметра генеральної сукупності.

3.1. Поняття точкової статистичної оцінки

Генеральні сукупності характеризуються деякими постійними числовими характеристиками розподілу. Математична теорія вибіркового методу ґрунтується на аналізі випадкової вибірки, по якій можна знайти оцінки цих характеристик.

Нехай – випадкова величина (неперервна або дискретна), що підпорядковується закону розподілу, що містить невідомий параметр . Наприклад, це може бути параметр у розподілі Пуассона, параметри або нормального закону розподілу і т.д.

Для обчислення параметра дослідити всі елементи генеральної сукупності не представляється можливим. Тому про параметр намагаються судити по вибірці, що складається зі значень . Ці значення можна розглядати як окремі значення (реалізації) незалежних випадкових величин , кожна з яких має той самий закон розподілу, що й сама випадкова величина .

Визначення. Під статистичною оцінкою параметра розуміється величина Т, що визначена за вибіркою, що складається зі значень , тобто функція від вибіркових значень .

Помітимо, що вибіркова оцінка є функцією випадкових величин , а тому вона являє собою випадкову величину, розподіл якої залежить від розподілу цих випадкових величин.

Вибір можливо кращої оцінки – основна проблема теорії точкових оцінок. Щоб мати можливість зробити такий вибір, потрібно знати деякі основні властивості оцінок і вміти класифікувати їх за цими властивостями. Наступний параграф присвячений короткому огляду основних властивостей оцінок.

3.2. Властивості точкових оцінок

Оцінки невідомого параметра можна знаходити різними способами. Наприклад, якщо потрібно оцінити середнє значення нормального розподілу, то можна використовувати наступні оцінки Т:

1. – середнє арифметичне максимального й мінімального елементів вибірки;

2. – моду, що при нормальному розподілі дорівнює середньому значенню ;

3. – медіану, що при нормальному розподілі дорівнює середньому значенню ;

4. – середню арифметичну.

Для того щоб установити, яка з оцінок краще, розглянемо основні властивості (види) оцінок.