9. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения.

Определение: Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными называется система уравнений вида:

a1,1∙x1 + a1,2∙x2 + ... + a1,n−1∙xn−1 + a1,n∙xn = b1 a2,1∙x1 + a2,2∙x2 + ... + a2,n−1∙xn−1 + a1,n∙xn = b2 .................................................................................... am,1∙x1 + am,2∙x2 + ... + am,n−1∙xn−1 + am,n∙xn = bm

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Минором элемента a_ij опредилителя, называется определитель порядка на единицу меньше, получающий из исходноговычеркиванием строки с i и столбца j.

Алгебраическим дополнением Aij элемента а_ij, называется его минор взятый со знаком (-1)^i+j

10. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

.

Здесь  — это матрица системы,  — столбец неизвестных, а  — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Системой «m» линейных уравнений с «n» - неизвестными называется система вида:

A11x1+a12x2+….+a1nxn=b1 где aij-коэфицент

A21x1+a22x2+….+a2nxn=b2 xi-неизвесное

…………………………………………… bi- свободные члены

Am1x1+am2x2+….+amnxn=bm

11. Система уравнений nxn. Решение системы с помощью обратной матрицы.

Система линейных уравнений состоит из n линейных уравнений с n переменными

AX=B

Определитель основной матрицы должен отличатся от 0

Х=А^(-1)В 12. Формулы Крамера.

Хj= определитель j/ определитель, j = 1,2,…..n

Где определитель = detA- определитель основной матрицы системы

Определитель j- определитель получаемый из определителя заменой столбца с номером j столбцом свободных членов

Решить методом Крамера систему уравнений:

                                               x₁ +   x₂ +  x₃ +      x₄ = 5,

                                               x₁ + 2x₂ -   x₃ +    4x₄ = -2,

                                             2x₁ -  3x₂ -   x₃ -     5x₄ = -2,

                                             3x₁ +   x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

 

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D _i ( i = ), получающиеся из определителя  путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

             

                 

Отсюда x₁ = D ₁/ = 1, x₂ =  ₂/ = 2, x₃ =  ₃/ = 3, x₄ =  ₄/ = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)

13. Система уравнений mхn. Элементарные преобразования системы.

Система линейных уравнений записывается в виде

и состоит из  линейных уравнений с  переменными

К элементарным преобразованиям системы линейных уравнений относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

14. Условие совместности системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера - Капелли (без доказательства)..

Теорема Кронекера-Капелли: для совместности необходимо и достаточно,чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширеной матрицы системы (rangA=rangA*)

15. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.

Расмотрим системы линейных уравнений m*n

Метод Гауса состоит их 2х шагов:

1. Прямой ход схемы Гауса (расширенная матрица система приводится к трапеционному виду с помощью элементарных преобразований над строками матрицы

2. Обратный ход. По полученной трапециовидной матрицы выписывается новая система уравнения из которой находятся все неизвестные начиная с последнего уравнения системы 16. Понятие функции. Способы задания функции.

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции. Существуют разные способы задания функций. 1. Аналитический способ. Заключается он в том, что функция задается формулой, Например . 2. Графический способ. При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример: 3. Словесный способ. Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле. «Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число». 4. Табличный способ. элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y. Пример:

17. Виды числовых множеств .Комплексные числа

Виды числовых множеств

1.N={1,2,3…}- натуральные числа

2. Z={…-2,-1,0,1,2…}- целые числа

3.Q={m/n}- рациональное числа (m,n принадлежат Z)

4. I=h-иррациональные числа (корень из 2, 3,пи)

5.R=QUI- множество действительных чисел

6.С={z=x+iy,где i=корень из (-1), х,у принадлежат R}- комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение следующего вида:

 

18. Односторонние пределы. Свойства пределов функций.

Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х₀ и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 ) ( x₀ - δ < x < x₀) : | f (x) – A | < ε.

  Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х₀ и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 ) ( x₀< x < x₀+ δ) : | f (x) – В | < ε

  Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как

и

Свойства пределов

Обозначение предела

Предел функции обозначается как или через символ предела: . Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p - действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0.

Предел логарифмической функции

где основание a > 0.

19. Числовые последовательности и их пределы. Свойства пределов числовых последовательностей

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x  N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, y_n,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Число а называется пределом последовательности хn, где n = 1,2,… если для любого положительного числа Е найдется натуральное число N такое что, при всех n>N выполняется неровенство Iхn-aI<E

Если члены последовательностей { un }, { vn }, { wn } удовлетворяют неравенствам Некоторые замечательные пределы.

20. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых.

Если переменная величина x_n имеет своим пределом нуль lim x_n = 0, то она называется бесконечно малой. Это же определение можно высказать и в другой формулировке:

     Переменная величина x_n назвается бесконечно малой, если для всякого наперед заданного положительного числа можно указать такое натуральное число N, что | x_n | < для всех номеров n, которые больше N.

     Ни одно число, кроме нуля, не может быть отнесено к бесконечно малым величинам.