20

Билет 1

1.Предмет теорії ймовірностей. Випадковове явище.

Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины их свойства и операции над ними.

Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта может протекать каждый раз иначе.

Примеры: выпадение орел\решка, выпадение грани игральной кости, попадание снаряда при стрельбе по мишени, раздача карт игрокам.

Оно характеризуется неопределенностью, непредсказуемостью исхода.

2.Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа: Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p, то при больших n вероятность того, что произойдёт ровно m событий A может быть вычислена по следующей формуле: , где

Альтернативная формулировка: случайная величина, имеющая биномиальное распределение при достаточно больших n может рассматриваться , как случайная величина, имеющая нормальное распределение.

Задача: Равновесие при бросании монет

При бросании 100 монет какова вероятность выпадения ровно 50 гербов?

Решение:

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Если производится nнезависимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p, то при больших n вероятность того, что произойдет от До событий A может быть вычислена по следующей формуле:

Где Ф - функция Лапласа

Билет 2

1.Дослід з випадковим результатом. Випадкова подія. Класифікація подій.

Опыт – некоторая воспроизводимая совокупность условий, в которых наблюдается то или иное явление.

Опыт со случайным исходом – опыт, результат которого варьируется при его многократном воспроизведении

Опыт со случайным исходом - опыт, при котором наблюдается случайное явление.

Примеры: бросание монеты, игровой кости, выстрел в мишень

Случайное событие - это всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти, а может и нет.

Примеры: выпадение орла, выпадение 1 на кости.

Классификация событий:

1) Достоверное

2) Невозможное

3) Практически невозможное

4) Возможное, но не достоверное

5) Противоположные события – Событие ~A является противоположным событию А, если ~А заключается в не наступлении А.

2.Збіжність за ймовірністю. Закон великих чисел. Теорема Бернулі. Центральна гранична теорема.

Понятие сходимости по вероятности: Последовательность случайных величин X₁, X₂, … X_n сходится по вероятности к неслучайной величине a, если любого сколь-угодно малого

Обозначение: Х_n a (между Х и а стрелочка).

Закон больших чисел: Предположим, имеются случайные величины X₁, X₂, … X_n. Рассмотрим случайные величины Y₁=X₁, Y₂=(X₁+ X₂)/2, … Y_n=(X₁+ X₂+…+X_n)/n.  

Среднее арифметическое наблюденных в n независимых опытах случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию: Y_n m (посередине стрелочка)  

Теорема Бернулли: При неограниченном возрастании числа в независимых опытах в каждом из которых событие A появляется с вероятностью pб частота события A сходится по вероятности к вероятности события p

P_n^ф р (тут опять стрелочка), где - частота события a.

Центральная предельная теорема: Если - независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием m и дисперсией , то при увеличении n, закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному с параметрами nm и n .