1. Перечислите основные этапы математического моделирования.

1. Создание качественной модели (выясняется характер законов и связей)

2. Создание математической модели (выделение существенных факторов и дополнительных условий)

3. Изучение математической модели (исследование непротиворечивости, обоснование корректности модели и качественное и численное исследования модели)

4. Получение и интерпретация результатов (сопоставление полученных данных с результатами качественного анализа, реального эксперимента и данными, полученными с помощью других алгоритмов)

5. Использование полученных результатов (предсказание новых явлений и закономерностей)

2. Дайте определение детерминированной модели.

Математическая модель называется детерминированной, если она описывается некоторыми уравнениями (пример – рассмотренные в курсе ммф начально-краевые задачи)

3. Дайте определение стохастической модели.

Математическая модель называется стохастической, если она описывается некоторыми вероятностными законами.

4. Что такое прямые задачи математического моделирования? Приведите примеры.

Прямой называется такая задача математического моделирования, в которой нужно изучить поведение модели в различных условиях при известных параметрах исследуемой системы.

Примеры: задача рассеяния – моделирование процесса рассеяния монохроматического излучения локальными дефектами слоистых структур на проницаемой подложке.

5. Что такое обратные задачи математического моделирования? Приведите примеры.

Обратной называется такая задача математического моделирования, в которой по поведению модели в различных условиях изучаются параметры системы.

Обратные задачи делятся на:

Задачи распознавания: определение параметров модели путем сопоставления наблюдаемых данных и результатов моделирования (задача электроразведки: определение подземных структур при момощи измерений на поверхности).

Задачи синтеза: построение математических моделей систем и устройств, которые должны обладать заданными техническими характеристиками (синтез диаграммы направленности антенны: определение распределения токов, создающих заданную диаграмму направленности антенны).

6. В чем состоит принцип аналогий в математической физике? Приведите примеры.

Принцип аналогий состоит в использовании аналогий с уже изученными явлениями при создании математических моделей новых явлений. Например, по аналогии с математической моделью, описывающей процесс колебаний в электрическом колебательном контуре, можно построить модель, описывающую малые колебания при взаимодействии биологических популяций.

7. Приведите примеры, демонстрирующие универсальность математических моделей.

В качестве примера рассмотрим процессы колебаний в объектах разной природы:

1 . Колебательный электрический контур

Процесс колебаний описывается уравнением Гельмгольца, где – заряд на обкладках конденсатора, С – емкость конденсатора, L – индуктивность катушки

2. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций (хищники и травоядные)

Если пренебречь естественной смертностью травоядных и рождаемостью плотоядных, то колебания системы:

, где n – малое отклонение от равновесия численности травоядной популяции, – коэффициенты рождаемости травоядной и смертности плотоядной популяции соответственно.

3. Связь зарплаты и занятости

Пусть работодатель платит тем больше денег, чем больше работников заняты делом, а число работников меняется пропорционально изменению зарплаты. Тогда число работников и их зарплата связаны уравнением

, где – малое отклонение числа занятых работников от равновесного, – некоторый коэффициент.

8. Что такое иерархия моделей? Приведите примеры.

Иерархия моделей - это цепочка все более полных моделей, каждая из которых обобщает предыдущую, включая ее в качестве составного случая.

Пример – многоступенчатая ракета обобщает модель одноступенчатой ракеты.

9. Как ставится простейшая задача Гурса?

10. Как ставится общая задача Гурса?

Где – гладкие функции.

11. Как ставится общая задача Коши в простейшем случае.

Кривая С – бесконечно гладкая кривая, делящая плоскость (x,y) на две криволинейные полуплоскости и удовлетворяющая условиям:

а) кривая С не является характеристикой первого уравнения;

б) любая характеристика первого уравнения пересекает кривую С только 1 раз

12. Поставьте общую задачу Коши.

13. Какими свойствами должна обладать кривая С, на которой ставятся дополнительные условия в общей задаче Коши?

C – бесконечно гладкая, не является характеристикой и любая характеристика пересекает ее только 1 раз.

14. Дайте определение Функции Римана.

Рассмотрим задачу с данными на характеристиках (задачу Гурса):

Можно показать, что решение этой задачи всегда существует. Оно называется функцией Римана. Функция удовлетворяет по координатам точки этой задаче и зависит от точки как от параметра.

15. Приведите простейший пример функции Римана.

Рассмотрим задачу

Функция в области D удовлетворяет всем условиям этой задачи и представляет собой частный случай функции Римана.

16. Какие дифференциальные операторы называются сопряженными?

Два дифференциальных оператора L и K называются сопряженными, если разность является разностью первых частных производных по X и Y от некоторых выражений P и Q:

Причем Р не содержит производной Uy, а Q не содержит производной

17. Что произойдет, если характеристика уравнения общей задачи Коши пересечет кривую С, на которой заданы дополнительные условия, более чем в одной точке?

Если характеристика пересекает кривую C в двух точках A и , то значение не может быть задано произвольно, а определяется по формуле:

18. Как ставится задача Стефана?

Процесс замерзания воды – температура фазового перехода равна нулю – граница промерзания

где и коэффициенты теплопроводности и температуропроводности твердой и жидкой фазы

19. Какой физический смысл имеет задача Стефана?

Задача о промерзании (фазовый переход)

20. В чем состоит метод подобия?

Метод подобия (рассмотрим на примере уравнения теплопроводности):

Вид уравнения не изменится при замене

Следовательно

При

Таким образом задача свелась к одномерной.

21. Как ставится задача сорбции?

где – концентрация газа на входе.

22. Напишите уравнение кинетики сорбции.

– кинетический коэффициент, концентрация газа, находящегося в равновесии с сорбированным количеством газа.

23. Что такое изотерма сорбции? Приведите примеры.

Изотерма Ленгмюра

Изотерма Генри (справедлива в области малых концентраций) с коэффициентом Генри

24. Рассмотрите поведение на бесконечности решения уравнения Гельмгольца при различных видах коэффициента С.

Уравнение Гельмгольца: , где в ограниченной области D,

1)

при выбирается решение с «минусом». При данном условии решение удинственно. (Доказательство следует из принципа максимума).

2)

Единственное решение, равномерно стремящееся в нуля на бесконечности

3)

оба решения одинаково убывают на бесконечности

25. Сформулируйте для неограниченной области теорему единственности решения уравнения Гельмгольца в случае отрицательного коэффициента С.

Классическое решение уравнения равномерно стремящееся к нулю на бесконечности, единственно.

26. Напишите условие излучения Зоммерфельда в трехмерном случае.

При временной зависимости

27. Напишите условия излучения Зоммерфельда в двумерном случае.

При временной зависимости

28. В каком случае и для чего ставятся условия излучения Зоммерфельда?

Условия излучения Зоммерфельда необходимы для выделения единственного решения уравнения Гельмгольца в неограниченной области.

29. Сформулируйте принцип предельного поглощения.

Дополнительным условием, позволяющим выделить решение уравнения Гельмгольца, соответствующее расходящимся волнам, является требование, чтобы функция являлась пределом ограниченного решения уравнения Гельмгольца с комплексным коэффициентом

30. Сформулируйте принцип предельной амплитуды.

Рассмотрим уравнение колебаний с периодической правой частью

Со временем в системе установятся колебания с частотой вынуждающей силы

, где – предельная амплитуда колебаний.

Требование, чтобы было предельной амплитудой колебаний с нулевыми начальными условиями, представляет то дополнительное условие, которое нужно присоединить к волновому уравнению Гельмгольца для выделения единственного решения.

31. Приведите пример постановки парциальных условий излучения.

Где – постоянные распространения нормальных волн.

32. Какой излучатель называется квадрупольным?

Поверхность шара радиуса колеблется так, что радиальная составляющая скорости на поверхности :

33. Как ставится задача математической теории дифракции?

34. Что такое автомодельное решение?

Рассмотрим квазилинейное уравнение теплопроводности:

Автомодельными решениями этого уравнения мы будем называть такие его частные решения специального вида, которые могут быть получены путем интегрирования некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, аргументы искомых функций которых представяют собой комбинацию независимых переменных x и t.

35. Дайте определение квазилинейного уравнения теплопроводности.

Квазилинейным уравнением теплопроводности называется параболическое уравнение:

С коэффициентом K(u), если K(0)=0, то уравнение называется вырождающимся.

36. Сформулируйте основные свойства квазилинейного уравнения теплопроводности.

Решение уравнения :

1) финитная функция по x в любой конечный момент времени:

2) функция не имеет всюду непрерывных производных, входящих в уравнение

На

37. Что такое тепловые волны? При каких условиях они возникают?

При уравнение с условиями имеет автомодельное решение вида , которое называется тепловыми волнами. Эта волна движется по невозмущенному фону температур. Фронт волны ускоряет свое движение и при направляет до бесконечно больших температур всю полупрямую .

38. Что такое режимы с обострением? Приведите примеры.

Режимом с обострением называется такой закон изменения некоторой величины, который обеспечивает ее неограниченное возрастание в течение конечного времени.

Рассмотрим уравнение

Ищем решение в виде:

Режим с обострением:

39. При каком режиме с обострением образуется стоячая тепловая волна?

40. Напишите квазилинейное уравнение переноса.

41. Напишите уравнение характеристик для квазилинейного уравнения переноса.

42. Могут ли характеристики квазилинейного уравнения переноса пересекаться? Что это означает физически?

Да, могут. При этом профиль не однозначный – опрокидывание волн.

43. В чем состоит явление опрокидывания волн? Как его можно объяснить?

Скорость переноса начального значения вдоль характеристики зависит от решения, профиль искажается – дисперсия бегущей волны. В определенный момент времени характеристики пересекаются, профиль неоднозначный – «опрокидывание» волн.

44. В каких случаях необходимо строить обобщенное решение квазилинейного уравнения переноса?

Если непрерывное решение неоднозначно, то необходимо строить обобщенное разрывное решение.

45. Напишите условие на разрыве (условие Гюгонио - Ренкина).

– скорость распространения разрыва.

46. Напишите уравнение Кортевега – де Фриза.

Функция , описывающая процесс распространения длинных волн на поверхности воды, приближенно удовлетворяет уравнению

Где глубина жидкости, – скорость длинных волн на мелкой воде.

С помощью линейной замены переменных можно получить канонический вид:

47. Для решения какой нелинейной задачи применяется схема решения обратной задачи рассеяния?

Кортвега-де Фриза

48. Изложите схему решения обратной задачи рассеяния.

а) по данным рассеяния строится функция – ядро уравнения Гельфанда-Левитана:

б) Ищется решение линейного интегрального уравнения Гельфанда-Левитана:

в) Решив это уравнение и найдя по формуле

Определяем функцию , которая и является искомым потенциалом, то есть решением обратной задачи рассеяния.

49. Что такое солитонные решения?

Решения уравнения Кортвега-де Фриза вида

получили название солитонов. Они описывают бегущие волны неизменной форму, имеющие скорость, прямо пропорциональную амплитуде решения.

Будем называть солитонами такие решения нелинейных уравнений, которые имеют вид бегущих уединенных волн, взаимодействующих таким образом, что после взаимодействия они сохраняют неизменной свою форму, получая лишь приращения в фазах.