Коваленко Л.И. Элементы векторного анализа

§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса

21

Р е ш е н и е. По формуле Стокса (16) имеем
Z	a dr =ZZ rot a ds =ZZ (rot a, n) ds,
C	S	S

где S — круг на плоскости x + y + z = 0, границей кото-

1

1

1

рого служит окружность C; n =

√

,

√

,

√

— еди-

3

3

3

ничный вектор нормали к S, направление которой согла-

суется с направлением обхода окружности C по правилу

правого винта. Вычислим rot a.

i

j

k

rot a =

∂

∂

∂

=

−

−

j

−

k = (

− −

1;

−

1),

y

z

x

1

1

1

(rot

a, n) =

=

√3

−√3 − √3 − √3

−

ZZ (rot a, n) ds = −√

ZZ ds = −πR2√

.

3

3

S

−πR2√

S

О т в е т.

3.

Определение 11. Область G R3 называется поверхностно односвязной, если, каков бы ни был простой кусочно-гладкий замкнутый контур γ G, существует кусочно-гладкая ориентируемая поверхность, натянутая на γ и лежащая в G.

Примером области, не являющейся поверхностно односвязной, служит тор.

Утверждение 5. Для того чтобы векторное поле a = = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонен-

тами в области G было потенциальным, необходимо,

а в случае поверхностно односвязной области и доста-

точно, чтобы поле было безвихревым:

rot a = 0, или

∂P

=

∂Q

,

∂Q

=

∂R

,

∂R

=

∂P

∂y

∂x

∂z

∂y

∂x

∂z

в области G.

22 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

Задача 9. Убедившись в потенциальности поля

	z		A		a = (y + z)i + (x + z2)j + (x + 2yz)k,
	0		CAB		вычислить работу поля вдоль дуги
					CAB окружности
x			B	y	x = y
					x2	+ y2 + z2 = R2,
	Рис. 11				в первом	октанте в направле-

нии от точки A(0, 0, R) к точке

R

R

B

√

,

√

, 0

(см. рис. 11).

2

2

Р е ш е н и е. Вычислим rot a.

= 0.

rot a =

∂

∂

∂

i

j

k

2

x + 2yz

y + z x + z

∂x

∂y

∂z

3

Поле a потенциально

в R

(по утверждению

5). Тогда

(по утверждению 4)

a dr + Z

Z

a dr = Z

a dr,

CAB

AO

OB

AO, OB — прямолинейные отрезки (см. рис. 11). Имеем на основании формулы (13)

ZZ

a dr = (a, −k) dl = 0 (x = 0, y = 0 на AO);

	AO	AO
							B	R2
	Z	a dr = Z	(a, τ) dl = Z				y dx + x dy = (xy) O =
								2
				R		2
	OB	OB	Z	OB
				a dr =			.
					2

CAB

О т в е т. R2 .

2

Замечание к задаче 9 (второй способ решения). Так

§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса

23

как поле a потенциально, то (см. утверждение 4)

(y + z) dx + (x + z2) dy + (x + 2yz) dz = du,

	u — потенциал поля a.
	Имеем:	∂u	= y + z,	∂u	= x + z2,			∂u	= x + 2yz.
		∂x		∂y				∂z
	Такие частные производные имеет функция
			u = xy + xz + yz2.
					2
	Тогда CAB a dr = u(B) − u(A) =					R	.
						2
	Задача								3
		10. Пусть в области G R заданы скалярное
	R

поле ϕ и векторное a = (P, Q, R); ϕ, P , Q, R — непрерывно дифференцируемые функции. Вектор b в точке M(x, y, z)

G имеет компоненты:
bx = R	∂ϕ	+ ϕ	∂R	− Q	∂ϕ	− ϕ	∂Q		,
	∂y		∂y		∂z			∂z
by = P	∂ϕ	+ ϕ	∂P	− R	∂ϕ	− ϕ	∂R		,
	∂z		∂z		∂x			∂x
bz = Q	∂ϕ	+ ϕ	∂Q	− P	∂ϕ	− ϕ		∂P		.
	∂x		∂x		∂y			∂y

Используя термины поля, найти выражение для b через

aи ϕ в векторной форме.

Ре ш е н и е. На основании (14) заключаем, что слага-

емые

ϕ∂R∂y − ∂Q∂z , ϕ ∂P∂z − ∂R∂x , ϕ ∂Q∂x − ∂P∂y ,

входящие в состав bx, by, bz, являются компонентами вектора ϕ rot a. Остальные слагаемые

R∂ϕ∂y − Q∂ϕ∂z , P ∂ϕ∂z − R∂ϕ∂x , Q∂ϕ∂x − P ∂ϕ∂y

являются компонентами векторного произведения

		i		j		k
		∂ϕ		∂ϕ		∂ϕ
[grad ϕ, a] =		∂x		∂y		∂z	.
		P		Q		R

24 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

Следовательно, b = ϕ rot a+[grad ϕ, a]. Нетрудно получить другое выражение для b. Имеем

bx =	∂(ϕR)		−	∂(ϕQ)		,
	∂y			∂z
by =	∂(ϕP )		−	∂(ϕR)		,
	∂z			∂x
bz =	∂(ϕQ)		−	∂(ϕP )		,
	∂x			∂y

т.е. b = rot(ϕa).

О т в е т. b = rot(ϕa) = ϕ rot a + [grad ϕ, a].

При решении задачи 10 получено выражение для rot(ϕa). Об этом см. еще задачу 12в).

Утверждение 6. Пусть в области G R3 определено векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами; M0 — фиксированная точка,

	z					M0 G, ν — произ-
				~ν		вольный		фиксирован-
	0					ный	единичный		век-
			y
					π	тор; π — плоскость,
	x			M0		перпендикулярная			век-
				γε		тору	ν	и проходящая
			Рис. 12			через M0; Kε — круг в
						плоскости π радиуса ε
	с центром в точке M0, Kε G, γε — граница круга Kε.
	Пусть окружность γε			(см.		рис. 12) ориентирована по

отношению к ν по правилу правого винта (для правой системы координат). Тогда в точке M0

ε→+0	R	σε	,
(rot a, ν) = lim		γε a dr		(17)

где σε — площадь круга Kε.

По формуле (17) выражаются проекции rot a на любые взаимно ортогональные единичные векторы ν1, ν2, ν3. Этими проекциями rot a однозначно определяется.

§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона

25

Величины, входящие в правую часть равенства (17), не зависят от выбора системы координат одной и той же ориентации. Однако при замене правой системы координат на левую и неизменном ν направление обхода γε изменяется на противоположное, что влечет изменение знака в правой части (17), а значит, и rot a.

Таким образом, rot a инвариантен относительно преобразований прямоугольных координат, сохраняющих их ориентацию; rot a — аксиальный, или осевой вектор (таким называют вектор в ориентированном пространстве, который при изменении ориентации пространства преобразуется в противоположный вектор).

§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона

Оператор Гамильтона r (3) удобно трактовать как сим-

волический вектор с компонентами ∂x∂ , ∂y∂ , ∂z∂ , а примене-

ние его к скалярной функции — как умножение скаляра на этот вектор. С помощью r удобно записывать для a =

= (P, Q, R):

∂

∂

∂

div a =

P +

Q +

R = (r, a),

∂x

∂y

∂z

rot a =

∂y R −

∂z Q i +

∂z P −

∂xR j +

∂

∂

∂

∂

	∂		∂
+		Q −		P k = [r, a],	(18)
	∂x		∂y

т.е. дивергенция векторного поля a есть скалярное произведение символического вектора r и вектора a, а ротор векторного поля a есть векторное произведение вектора r и вектора a.

αipi, где

26 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

Правила работы с r

n

P

1. Если r стоит перед линейной комбинацией

i=1

αi — постоянные, pi — функции точки (скалярные или векторные), то

n! n

XX

r	αipi = αirpi.
i=1	i=1

2.Если r стоит перед произведением функций p, q, то r применяется поочередно к каждой из этих функций (над ней ставится в этом случае знак ↓), результаты складываются:

↓ ↓

r(pq) = r(pq) + r(pq).

Затем полученные произведения преобразуются по правилам векторной алгебры так, чтобы за r стоял только множитель, снабженный знаком ↓. После этого знак ↓ можно опустить.

Задача 11. Вычислить, считая f скалярной функцией:

а) div(fa);
б) div(f(r)a(r)), r = |r|,		r —	радиус-вектор точки
(x, y, z).
Р е ш е н и е. а)			↓
↓
div(fa) = (r, fa) = (r, fa) + (r, fa) =
↓	↓
= (rf, a) + f(r,	a	) = (a, rf) + f(r, a) =
= (a, grad f) + f div a.			(19)

б) Вычислим div a(r). Учитывая, что компоненты вектора

	a(r) зависят от r, аналогично формуле (6) получаем
				da		r
			div a(r) =		,		,	(20)
				dr		r
	где	da	— вектор, компоненты которого есть производные
		dr

по r от компонент вектора a(r).

§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона				27
Далее по формуле (19), воспользовавшись (6) и (20), по-
лучим		r	r, dr .
div(f(r)a(r)) = r0 (r, a) +
	f	f	da

Задача 12. Вычислить:

а) div[a, b];

б) div[a(r), b], r = |r|, r — радиус-вектор точки (x, y, z);

в) rot(ϕa), ϕ — скалярная функция.
Р е ш е н и е. а) Имеем	↓	↓
div[a, b] = (r, [a, b]) = (r, [	a	, b]) + (r, [a, b]).

Совершив круговую перестановку сомножителей смешан-
ного произведения		преобразуем слагаемое		↓		к виду
	,		(r, [	a	, b])
↓		↓
(b, [r, a]). Слагаемое (r, [a, b]) преобразуется аналогично,

если предварительно в нем поменять местами a с b, в ре-
↓
зультате чего получим −(a, [r, b]).
Опустив знак ↓ и воспользовавшись формулой (18), бу-
дем иметь
div[a, b] = (b, rot a) − (a, rot b).	(21)

б) Вычислим rot a(r). Воспользуемся формулой (14). Учитывая, что компоненты P , Q, R вектора a(r) зависят

от r, получаем

y

z

x

z

rot a(r) = hR0

(r)

− Q0(r)

i i − hR0

(r)

− P 0

(r)

i j+

r

r

r

r

+ Q0(r) x

P 0(r)y k = 1

x

y

z

= 1 r, da .

h

r −

r i

r

i

j

k

r

dr

P 0(r) Q0(r) R0(r)

Тогда по формуле (21) имеем

div[a(r), b] =	b	,	r,	da		− (a(r), rot b) .
	r			dr
						↓	↓

в) Имеем rot(ϕa) = [r, ϕa] = [r, ϕa]+[r, ϕa] = [rϕ, a]+ + ϕ[r, a] = [grad ϕ, a] + ϕ rot a (см. задачу 10).

∂a ∂l

28 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

Градиент одного вектора по другому

Пусть a = (ax, ay, az) — векторное поле с дифференцируемыми компонентами.

Аналогично производной скалярного поля по направле-

нию l = (cos α, cos β, cos γ), |l| = 1 (см. (1)) определяется производная векторного поля a по направлению l, которая обозначается .

Справедлива формула, аналогичная (2):

∂∂al = ∂x∂a cos α + ∂∂ya cos β + ∂∂za cos γ,

которую, полагая

∂

∂

∂

lr = cos α

+ cos β

+ cos γ

,

∂x

∂y

∂z

можно записать так:

∂a

= (lr)a.

∂l

Пусть b = (bx, by, bz) — произвольный вектор.

Определение 12. Под вектором (br)a будем понимать

вектор

∂a

∂a

∂a

(br)a = bx

+ by

+ bz

,

(22)

∂x

∂y

∂z

который называется градиентом вектора a по вектору b.

Если вектор b имеет то же направление, что единичный вектор l = (cos α, cos β, cos γ), так что b = |b|l, то имеем

bx = |b| cos α, by = |b| cos β,						bz = |b| cos γ.
Поэтому					∂y	+ cos γ ∂z			=
(br)a = |b| cos α∂x + cos β
	∂a				∂a		∂a
= |b|(lr)a = |b|			∂a
				.
			∂l

На основании формулы (22) заключаем, что компоненты градиента вектора a по вектору b вычисляются по форму-

§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона

29

лам:

∂ax

∂ax

∂ax

{(br)a}x = bx

+ by

+ bz

= (b, rax), (22а)

∂x

∂y

∂z

∂ay

∂ay

∂ay

{(br)a}y = bx

+ by

+ bz

= (b, ray),

(22б)

∂x

∂y

∂z

∂az

∂az

∂az

{(br)a}z = bx

+ by

+ bz

= (b, raz).

(22в)

∂x

∂y

∂z

Имеем, в частности, для радиуса-вектора r точки (x, y, z)

(br)r = b.

(23)

Задача 13.

Вычислить: а) rot[a, b]; б) div[r, [c, r]];

в) rot[r, [c, r]], где c — постоянный вектор, r — радиус-

вектор точки (x, y, z).

Р е ш е н и е.

а) Имеем

↓

↓

(24)

rot[a, b] = [r, [a, b]] = [r, [a, b]] + [r, [a, b]].

Применив правило вычисления двойного векторного произ-

ведения

[A, [B, C]] = B (A, C) − C (A, B) ,

(25)

получим

↓

↓

↓

a

a

a

) = (br)a−b(r, a) = (br)a−b div a,

[r, [

, b]] = (br) −b(r,

↓

↓

↓

[r, [a, b]] = a(r, b) − (ar)b = a div b − (ar)b.

Поэтому в силу формулы (24)

или

rot[a, b] = (br)a − b div a + a div b − (ar)b,

(26)

rot[a, b] = (br)a − (ar)b + a div b − b div a.

(27)

б) Обозначим [c, r] = R. Имеем по формуле (21):

div[r, R] = (R, rot r) − (r, rot R) = −(r, rot R) =

= −(r, rot[c, r]),

(28)

так как

30 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

		i	j			k
		∂	∂			∂		(29)
		x	y			z
(	rot r =	∂x	∂y	5	∂z		= 0
	то же следует по утверждению				из потенциальности			поля

вида a = f(r)r, f ≡ 1 (см. задачу 7)). По формуле (26) получаем

rot[c, r] = (rr)c − r div c + c div r − (cr)r = 3c − c = 2c,

так как (rr)c = 0, div c = 0, div r = 3, (cr)r = c (см. (23)).

В силу (28)

div[r, [c, r]] = −2(r, c).

О т в е т. −2(r, c).

в) Имеем по формуле (27):

rot[r, R] = (Rr)r − (rr)R + r div R − R div r, (30)

где R = [c, r], c = (c1, c2, c3), ci — постоянные по условию, i = 1, 2, 3.

Вычислим слагаемые, стоящие в правой части фор-

мулы (30):

(Rr)r = R (см. (23));

i j k

R = [c, r] = c1 c2 c3 = (c2z−c3y)i−(c1z−c3x)j+(c1y−c2x)k;

x y z

	(rr)R = x	∂R		∂R			∂R
			+ y			+ z		= R
		∂x		∂y			∂z
(см. (22а),	(22б), (22в));		div r =			3; div R = 0. Поэтому
из (30) следует, что
rot[r, [c, r]] = R − R − 3R = −3[c, r] = 3[r, c].
О т в е т.	3[r, c].