- •Глава 2. Системы линейных уравнений
- •§ 1. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •§ 2. Ранг матрицы
- •Аналогично утверждение доказывается и для столбцов.◄
- •Свойства ранга матрицы
- •§ 3. Теорема о базисном миноре
- •§ 4. Критерий совместности системы линейных уравнений
- •§ 5. Однородные системы линейных уравнений
- •Свойства решений однородной системы линейных уравнений
- •§ 6. Неоднородные системы линейных уравнений
- •§ 7. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Правило решения системы линейных уравнений
- •§ 8. Еще раз об обратной матрице
Глава 2. Системы линейных уравнений
§ 1. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
Определения. Системой линейных уравнений называется система уравнений вида
(2.1)
где – известные числа; – неизвестные; . Решением системы (2.1) называется упорядоченный набор чисел , который при подстановке в каждое из уравнений системы обращает его в верное равенство. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Введем следующие обозначения:
– матрица системы, Ã= –
расширенная матрица, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов.
Матричными уравнениями называются уравнения вида АХ = В, ХА = = В, АХВ = С, где A, B, C – известные матрицы; Х – искомая.
Матрица называется решением матричного уравнения, если при подстановке в это уравнение она обращает его в верное равенство.
Лемма 2.1. Пусть А – матрица системы (2.1), а В – столбец ее свободных членов. Тогда система линейных уравнений (2.1) равносильна матричному уравнению
АХ=В, (2.2)
в следующем смысле: если – решение (2.1), то столбец - решение (2.2), и наоборот.
►{ – решение системы (2.1)}
– решение уравнения (2.2)}.◄
Уравнение (2.2) называется матричной формой записи системы (2.1).
Теорема 2.1 (правило Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера
, (2.3)
где – определитель, полученный из ∆ заменой j-ого столбца на столбец свободных членов.
►На основании доказанной леммы система (2.1) равносильна матричному уравнению (2.2), поэтому теорему доказываем для этого уравнения.
Единственность. Предположим, что (2.2) имеет два различных решения и . Тогда
{ и }
– противоречие.
Существование. Покажем, что
– (2.4)
решение уравнения (2.2). Действительно, Для получения же формул (2.3) распишем равенство (2.4) поэлементно. Введем обозначения: Тогда
(2.4) : [теорема замещения] = ◄
§ 2. Ранг матрицы
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг нулевой матрицы по определению равен нулю. Ранг матрицы будем обозначать так: .
Замечание. Если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то все ее миноры (k + 1)-го порядка тоже равны нулю. Таким образом, если , это значит, что у матрицы А есть отличный от нуля минор r-го порядка, а все ее миноры (r + 1)-го порядка равны нулю.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) умножение строк и столбцов на число, отличное от 0;
2) прибавление к какой либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число;
3) перестановка строк или столбцов.
Лемма 2.2. Последнее элементарное преобразование может быть получено последовательным применением первых двух
►Докажем утверждение для строк матрицы. Будем, как и раньше, обозначать сокращенно i-ю строку матрицы А.
.