Глава 5. Билинейные и квадратичные формы

§ 1. Билинейные формы Определение билинейной формы и ее различные формы записи

Определение. Билинейной формой на линейном пространстве над полем называется функция двух векторных аргументов, принимающая значения из поля , линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая следующим условиям.

1*. : ;

2*. : ;

3*. : ;

4*. : .

Рассмотрим n-мерное линейное пространство и выберем в нем какой-либо базис:

(5.1)

Каждый вектор пространства можно разложить по этому базису: . Тогда

. (5.2)

Из (5.2) видно, что значение билинейной формы для любых двух векторов и выражается через координаты этих векторов и некоторые числа , которые с аргументами и не связаны, а зависят только от выбранного базиса. Обозначим

. (5.3)

Из (5.2) вытекает

. (5.4)

Равенство (5.4) называется координатной формой записи билинейной формы.

Определение. Матрицей билинейной формы в базисе (5.1) называется матрица , где .

Обозначим, как обычно,

, –

координатные столбцы векторов и соответственно в заданном базисе. Заметим, что – число, которое можно рассматривать как матрицу размеров . В таком случае (5.4) можно переписать и так: , откуда получаем

. (5.5)

Это равенство называется матричной формой записи билинейной формы.

Итак, если в задан базис, то каждой билинейной форме на линейном пространстве соответствует единственная матрица В – матрица этой билинейной формы в заданном базисе. Докажем, что верно и обратное утверждение.

Теорема 5.1. Пусть в линейном пространстве задан какой-либо базис (5.1). Тогда для любой квадратной матрицы , на линейном пространстве существует единственная билинейная форма , матрица которой в заданном базисе совпадает с В, т. е. такая, для которой выполняется условие 5.3).

►Построение. Положим по определению:

Линейность.

:

;

.

Таким образом, линейность по первому аргументу доказана. Аналогично проверяется линейность и по второму аргументу.

Выполнение условия (5.3). Так как (т. е. i-я координата вектора равна , а j-я координата вектора – ), то .

Единственность. Предположим, что существует еще одна билинейная форма , не совпадающая с формой , для которой выполняется (5.3). Тогда

,

и мы пришли к противоречию.◄

Таким образом, если в задан какой-либо базис, то между множеством билинейных форм на линейном пространстве и множеством квадратных матриц n-го порядка с элементами из поля Р устанавливается

взаимно однозначное соответствие.

Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса

Теорема 5.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(5.6)

и

, (5.7)

и пусть и – матрицы билинейной формы в базисах (5.6) и (5.7) соответственно. Тогда

, (5.8)

где Т – матрица перехода от (5.6) к (5.7).

►Воспользуемся определением билинейной формы и ее матрицы, а также определением матрицы перехода:

. (5.9)

Заметим, что в правой части равенства (5.9) индекс должен соответствовать номеру строки, а индекс – номеру столбца (по согласованию с левой частью), поэтому из (5.9) и вытекает равенство (5.8).◄

Следствие. Если матрица билинейной формы в одном из базисов пространства невырождена, то в любом другом базисе матрица этой билинейной формы также невырождена.

Определение. Билинейная форма на линейном пространстве называется невырожденной, если ее матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства невырождена.

Определение. Квадратные матрицы и называются конгруэнтными, если они связаны соотношением (5.8), где – невырожденная матрица.

Таким образом, матрицы одной и той же билинейной формы в различных базисах конгруэнтны.