- •Высшая математика Основные теоремы и определения
- •Свойства рядов.
- •Критерий Коши.
- •Степенные ряды.
- •Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
- •Ряд Тейлора.
- •Предельный признак Даламбера.
- •Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Знакочередующиеся ряды.
- •Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •Тригонометрический ряд.
- •Функциональные ряды.
- •Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
- •Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •Ряды Фурье для функций любого периода.
- •Список литературы
Ряд Тейлора.
(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)
Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где - многочлен степениm.
Тогда частное решение ищется в виде:
Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, аQ1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будетгде у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений
и
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если существует предел , то при < 1 ряд сходится, а при > 1 – расходится. Если = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример. Определить сходимость ряда .
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда
Вывод: ряд сходится.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:
где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид:
(1)
Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.
Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точкиэтой области существует единственное решение
системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям
Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , …, которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда и при un, vn 0.
Теорема. Если un vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда, а из расходимости рядаследует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через Sn и n частные суммы рядов и. Т.к. по условию теоремы рядсходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всехn n M, где М – некоторое число. Но т.к. un vn, то Sn n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если и существует предел, гдеh – число, отличное от нуля, то ряды иведут одинаково в смысле сходимости.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если для ряда с неотрицательными членами существует такое числоq<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
,
то ряд сходится, если же для всех достаточно большихn выполняется неравенство
то ряд расходится.
Следствие. Если существует предел , то при <1 ряд сходится, а при >1 ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд (1) + (2) + …+ (n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.
Пример. Ряд сходится при >1 и расходится 1 т.к. соответствующий несобственный интегралсходится при >1 и расходится 1. Рядназывается общегармоническим рядом.
Следствие. Если f(x) и (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралыиведут себя одинаково в смысле сходимости.