- •Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Определение
- •Определение
- •[Править]Сходимость числовых рядов
- •[Править]Необходимый признак сходимости ряда
- •Знакочередующийся ряд
- •[Править]Признак Лейбница
- •[Править]Оценка остатка ряда Лейбница
- •Степенной ряд
- •[Править]Пространство степенных рядов
- •[Править]Сходимость степенных рядов
- •[Править]Признаки сходимости
- •Ряд Тейлора
- •[Править]Определение
- •[Править]Связанные определения
- •[Править]Свойства
- •[Править]Формула Тейлора
- •[Править]Различные формы остаточного члена
- •Ряды Маклорена некоторых функций
- •8 Ряды фурье Ряд Фурье
- •10 Двойной Интегралл Двойной интеграл
- •11 Понятие о дифференциальном уравнении. Задача Коши
- •Задача Коши
- •[Править]Различные постановки задачи Коши
- •12 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •13 Однородное дифференциальное уравнение
- •15 Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
- •[Править]Однородное уравнение [править]Уравнение порядка n
- •[Править]Уравнение второго порядка
- •Тандартная модель
- •Действия над комплексными числами
1 Гиперболические функции. Дифференцирование и интегрирование гиперболических функций
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Определение
Определение гиперболических функций через гиперболу
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
гиперболический синус:
(в англоязычной литературе обозначается )
гиперболический косинус:
(в англоязычной литературе обозначается )
гиперболический тангенс:
(в англоязычной литературе обозначается )
гиперболический котангенс:
Иногда также определяются
гиперболические секанс и косеканс:
[править]Геометрическое определение
Параметризация гиперболического синуса (анимация).
Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы ( , ). При этом аргумент , где — площадь криволинейного треугольника , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: , где — ордината точки гиперболы, соответствующей площади . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.
[править]Свойства
[править]Связь с тригонометрическими функциями
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.
.
.
Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.
[править]Важные соотношения
(Тождество)
Чётность:
Формулы сложения:
Формулы двойного угла:
Формулы кратных углов:
Произведения
Суммы
Формулы понижения степени
Производные:
Интегралы:
2 Определение числового Ряда.Сходимость и сумма числового ряда Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Рассматриваются числовые ряды двух видов
Определение
Пусть — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида
Вообще, для обозначения ряда используется символ
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:
числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:
числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда представляют собой либо вещественные, либокомплексные числа.