5. Равенство двойного и повторного интеграла.

Пусть Д – правильная вдоль ОУ плоская область. Пусть f(x;y) определенная на ней непрерывная ф-ция. Правильность области позволяет записать I_y(f;Д) и справ-во рав-во: =I_y(f;Д) (1). =I_х(f;Д) – если обл прав вдоль ОХ. Д-во – разбиение обл Д сеткой горизонт и вертикальн прямых.

6. Замена переменных в двойном интеграле. Линейная замена.

Рассм на корд плоскости Оху обл Дху и опредеенную на ней ф-цию f(x;у). Пусть в пространстве Ouv дана обл Дuv. Пусть определено взаимообратное выражение ɸ : Дuv → Дху, (1). Тогда справ-во рав-во: I(u;v)| dudv (2). Где I(u;v) – определитель матрицы. Линейная замена. . Найдем Якобиан этого выражения. =a , =b, =c, =d. I= =ad-bc. Ф-ла (2) примет вид: = =

7. Переход к полярным координатам в двойном интеграле.

Рассм коорд плоскость Оху. Точку М(х;у) можно охарактеризовать 2-мя параметрами ρ=ОМ, φ=угол между ОМ и Ох. Пара(ρ;φ) – полярные координаты т.М. Очевидно, что ρ>=0, φ можно считать изменяющимся в пределе любого промежутка от 0 до 2П. (1). Найдем Якобиан отображения (1). I= =ρ cos² φ + ρ sin² φ= ρ>=0. I>=0, |I |=I= ρ. Т.О. : = .

8. Геометрические приложения 2-го интеграла: площадь плоской фигуры, объем цилиндроида, площадь поверхности.

1)Площадь плоской фигуры. Нам известна ф-ла Ϭ(Д)= (1). Она была получена как одно из св-в 2-го интеграла. Если область явл-ся правильной вдоль Оу, то получим ф-лу: Ϭ(Д)= 2) Объем цилиндроида. V(Ω)= 3)Площадь поверхности.

9. Определение числового ряда, его сходимости и расходимости. Необходимое условие сходимости.

Бесконечная сумма а₁+а₂+…+а_n+…(1) назыв-ся числовым рядом. Частичная сумма - S_n= а₁+а₂+…+а_n. Если последовательность (S_n) явл-ся схдящейся, т.е. имеет предел (2), то ряд (1) явл-ся сходящимся. Число S – его сумма. Если предел (2) не сущ-т, то ряд расходится и суммы не имеет. Если lim S_n =∞, то ряд имеет бесконечную сумму. Если ряд сходится, то сумма . Необходимое условие сходимости. Условие – необходимое условие сход-ти, где - общ член. Условие (не стрем-ся) – обеспеч-т расход-ть ряда и назыв-ся достат услов расход-ти.

10. Признак сравнения (элементарная и предельная форма).

Элементарн пр-к сравн-я: Пусть а₁+а₂+…+а_n+… - ряд с положит членами, b₁+b₂+…+b_n+… a_n ≤ b_n. Тогда сход-ть 2-го ряда влечет сход-ть 1-го. Расход-ть 1-го след-т расход-ть 2-го. Предельн пр-к сравн-я: а₁+а₂+…+а_n+…, b₁+b₂+…+b_n+…. а_n, b_n ≥0. (A≥0).

1)A≠0, ∞. Ряды вместе сход-ся и расх-ся. Если А=0, то 1-й расх-ся => 2-й расх-ся. А=∞, то 1 сх => 2-й сх (2 расх => 1 расх). А= +∞ 2 расх => 1 расх. b_n=q^n-1, если q<1 – сход-ся, q≥1 – расх. b_n =1/n^p. р>1 сход, р≤1 расх.

11. Признак Даламбера и радикальный пр-к Коши.

Пр-к Даламбера: пусть а₁+а₂+…+а_n+… ряд с положит членами. (≥0), тогда 1) А< 1 ряд сход-ся, 2) А>1 ряд расх-ся, 3) А=1 – треб-ся доп исследов-я. Рад пр-к Коши. Рассм ряд с положит членами. Рассм предел =A. A<1 – р сход-ся, А>1 – р.расх, А=1 – доп исследов-я.

12. Интегральный пр-к Коши.

Рассм ряд с положит членами а₁+а₂+…+а_n+…, удовл услов-м: 1) a_n+1≤ a_n, 2)a_n→0, т.е. убыв-т и стрем-ся к 0. Тогда можно построить непрер ф-цию f(x), для кот f(n) =a_n, опред на промеж-ке Д(f(x))=[1;+∞] и f(x) удовл 2-м услов-м: 1) f(x): x₁< x₂ => f(x₁) ≥ f(x₂) 2) f(x)→0, х→ +∞. При этом сходимость ряда равносильна сход-ти интеграла. . Ряд и интеграл либо сх, либо расх вместе.

13. Знакоперемееный ряд. Абсолютная и условная сходимость.

Знакопеременный ряд – ряд а₁+а₂+…+а_n+…(1), члены которого приним-т значения обоих знаков. Причем это происх-т при сколь угодно больших знач-х n. Ряд (1) позвол-т построить 2-1 ряд b_n= | а_n |: b₁+b₂+…+b_n+….(2). Ряд (2) – ряд с положит членами. Сходимость ряда (1) при сход-ти ряда (2) назыв-ся абсолютной сход-тью. Сход-ть ряда (1) при расход-ти ряда (2) назыв-ся условной сход-тью.

14. Ряд Лейбница. Вычисление суммы ряда Лейбница с заданной точностью.

Ряд Лейбница удовлетворяет след условиям: 1) знакочередующийся; 2) a_n стремится к 0; 3) |a_n| убывает и стремится к 0 – такой ряд сходится; 4) |S_n|<|a₁|; 5) |_Rn|<|_an+1|; 6)|R_n|<ε; 7)| _an+1|< Ɛ; 8) |_an+1| <=|a_n|. Если вместо |S| взять |R_n|, а вместо |a₁| взять |_an+1| , получим | R_n| < |_an+1|. Полученное следствие дает возможность проводить вычисление суммы ряда Лейбница с любой указанной заранее точностью Ɛ. Пусть S=_a1+a₂+…+a_n+a_n+1+…

S=S_n+R_n - для любого сходящегося ряда. S приблизительно = S_n при этом |_Rn|<Ɛ. S= S_n+R_n (_Sn стрем-ся к S, R_n стрем-ся к 0). Практически мы можем для достижения точности требовать выполнение | a_n+1|< Ɛ.