- •Вопрос 8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы., асимптоты.
- •Вопрос 9. Прямая и плоскость в пространсте., их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Вопрос 10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
- •Проективная прямая и ее уравнение.
- •Линии второго порядка на проективной плоскости
- •Вопрос 11. Операции над векторами
- •2) C перпендикулярен к плоскости векторов а и b, если они приведены к общему началу.
- •Обозначается ab или a, b .
- •Вопрос 25. Задача потребительского выбора.
- •Вопрос 26. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности.
- •Вопрос 27. Производственная функция. Закон убывающей эффективности.
- •Вопрос 29. Задача линейного программирования. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.
- •Алгоритм решения задач
- •Вопрос 30. Нелинейное программирование
- •Вторая часть. Информатика.
- •Вопрос 25. Теория вычислительных погрешностей.
- •2) Если точное число не известно, то для оценки погрешности приближения используется понятие предельной абсолютной погрешности:
- •Вопрос 26. Нечеткие вычисления.
- •Примеры нечетких множеств
- •Нечеткие отношения
- •3. Правила записи приближенных чисел
- •Погрешность метода определяется третьей причиной, причем появление этой погрешности практически неизбежно при любых вычислениях.
- •2) Если точное число не известно, то для оценки погрешности приближения используется понятие предельной абсолютной погрешности:
- •3. Правила записи приближенных чисел
- •Примеры решения задач
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •Свойства операций и .
- •Нечеткие отношения
- •Нечеткая и лингвистическая переменные
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором , а плоскость – уравнением общего вида Ах + Ву + Сz +D = 0. Возможны следующие случаи их взаимного расположения:
а) Прямая и плоскость параллельны, если , а
б) Прямая принадлежит плоскости, если и
в) Прямая и плоскость пересекаются, если
В этом случае угол между прямой и плоскостью равен .
Вопрос 10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
(Ответ на удовлетворительно – без доказательств)
Проективная геометрия является одним из самых красивых разделов геометрии. Она резко отличается от евклидовой геометрии, где все необходимо строго доказывать, причем, некоторые доказательства весьма сложны, в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов, и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку. В проективной геометрии ненужная информация отбрасывается, и в результате доказательство проходит просто и легко.
Как и все другие геометрии, проективная строго задается системой аксиом. В ней фигурируют два типа объектов, называемых «точками» и «прямыми». Между этими объектами есть некоторые отношения, схожие с точками и прямыми евклидовой плоскости, и для них выполняется ряд свойств, отличающихся от присущих евклидовым.
Возникновение проективной геометрии связано с именем известного французского математика Понселе. Он выделил как объект её изучения особые свойства геометрических фигур, которые были названы проективными. Эти свойства связаны с понятием центрального проектирования.
Рассмотрим в Евклидовом пространстве Е3 2 плоскости π и σ, точку О не лежащую в этих плоскостях. Пусть М – произвольная точка, принадлежащая π. Точка М´ пересечения прямой ОМ с плоскостью σ называется проекцией точки М на плоскость σ из центра О. Точке М, принадлежащей π, поставим в соответствии её проекцию М’ на плоскость σ из центра О.
Таким образом установленное соответствие между точками плоскостей π и σ называется центральным проектированием плоскости π на плоскость σ из центра О. Аналогично определяется и проекция фигуры.
При центральном проектировании многие свойства фигуры искажаются: меняется длина отрезка, величины углов, параллельные прямые проектируются в пересекающиеся прямые, проектируя параллелограмм можно получить произвольный четырёхугольник. Более того, проектируя отрезок, можно получить луч.
Но есть и ряд свойств, которые сохраняются при любом центральном проектировании. Эти свойства Понселе и назвал проективными. Такими свойствам является, например, свойство точек лежать на одной прямой или на одной ЛВП. Однако уже свойство точки лежать между двумя другими не является проективным.
Свойства, связанные с длинами отрезков и величин углов, также не являются проективными.
Значительное место в проективной геометрии занимает введение так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) геометрических элементов. Введение этих элементов – заслуга другого математика, француза Жерара Дезарга. Пользуясь перспективой как общим методом исследования, Дезарг пришел к необходимости рассматривать так называемые бесконечно удаленные элементы пространства. Он считал, что все параллельные прямые пересекаются в точке, которая является таким бесконечно удаленным элементом. Этим шагом Дезарг положил начало проективному представлению пространства (полное проективное пространство) и сделал возможным изучение проективных преобразований.
Следуя за Дезаргом, дополним пространство Е3 новыми точками, а именно: ко всем обычным точкам каждой прямой мысленно добавим ещё одну, несобственную точку. Будем считать, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а непараллельные прямые – различные. Обычные точки будем называть собственными. Прямую, дополненную несобственной точкой, назовём расширенной. Каждая плоскость имеет бесконечное множество параллельных прямых, следовательно и несобственных точек. Пусть все несобственные точки плоскости образуют несобственные прямые, а все несобственные точки пространства - несобственную плоскость. Плоскость, дополненную расширенной прямой, будем называть расширенной плоскостью. Вот и построена нами новая геометрия, которая занимает не менее важное место, чем евклидова.
Свойства, не меняющиеся при преобразованиях, и называются проективными. Именно ими и занимается проективная геометрия, остальные, изменяющиеся свойства, она игнорирует. Все теоремы проективной геометрии также касаются только проективных свойств, в них даже и не говорится ни об углах, ни о длинах.
Сформулируем теорему Дезарга. Пусть на плоскости заданы точки А, В, С и точка О, через которую проходят прямые ОА, ОВ, ОС. На каждой из этих прямых выберем по одной произвольной точке – А1, В1, С1. Точки пересечения прямых АВ с А1В1, АС с А1С1 и ВС с В1С1 лежат на одной прямой.
Из простейших фигур евклидовой геометрии можно вспомнить треугольники, четырехугольники, окружности. Есть ли похожие понятия в проективной геометрии? Ответ – положительный.
Начнем с аналога треугольника. Он называется трехвершинником. Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами трехвершинника. Трехвершинник с вершинами А, В, С обозначается так: АВС.
На проективной плоскости рассмотрим два трехвершинника AВС и А'В'С', вершины каждого из которых заданы в том порядке, в котором они записаны. Вершины А и А',В и В', С и С' будем называть соответственными, также будем называть соответственными стороны АВ и А'В', ВС и В'С', СА и СА'. Теперь рассмотренную выше теорему Дезарга можно сформулировать более точно, поскольку в ней идет речь именно о трехвершинниках.
Е
Рис. 2
сли прямые, проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников, проходят через одну точку, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.
Другая фигура проективной геометрии – это полный четырехвершинник.
Полным четырехвершинником называется фигура, состоящая из четырех точек проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами полного четырехвершинника. Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. В четырехвершиннике ABCD противоположными являются стороны АВ и CD, ВС и DA, АС и BD. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, попарно соединяющие диагональные точки,— диагоналями полного четырехвершинника.
Особенностью диагональных точек является то, что они при любом расположении точек четырехвершинника не лежат на одной прямой.
Другая особенность заключается в определенной, никогда не меняющейся их связи с вершинами.
Рис. 6
1) На каждой диагонали полного четырехвершинника диагональные точки гармонически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку.
2) Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки.
По аналогии с окружностью в проективной геометрии выделяется овальная кривая второго порядка. Она задается уравнением вида .
Ряд особенностей окружности сохраняется и для нее. Так, например, любая прямая, проходящая через внутреннюю точку овальной кривой, пересекает ее в двух точках, в любой точке овальной кривой существует касательная.
Используя проективную геометрию и понятие овальной кривой, можно решать большой круг задач на элементарные построения. Например, можно построить касательную к окружности. И, учитывая особенность проективной геометрии, построения такого рода выполняются только при помощи линейки, без привлечения циркуля.
Полный и развернутый ответ с доказательствами
Возникновение проективной геометрии связано с именем известного французского математика Понселе. Он выделил как объект её изучения особые свойства геометрических фигур, которые были названы проективными. Эти свойства связаны с понятием центрального проектирования.
Рассмотрим в Евклидовом пространстве Е3 2 плоскости π и σ, точку О не лежащую в этих плоскостях. Пусть М – произвольная точка, принадлежащая π. Точка М´ пересечения прямой ОМ с плоскостью σ называется проекцией точки М на плоскость σ из центра О. Точке М, принадлежащей π, поставим в соответствии её проекцию М’ на плоскость σ из центра О.
Таким образом установленное соответствие между точками плоскостей π и σ называется центральным проектированием плоскости π на плоскость σ из центра О. Аналогично определяется и проекция фигуры.
При центральном проектировании многие свойства фигуры искажаются: меняется длина отрезка, величины углов, параллельные прямые проектируются в пересекающиеся прямые, проектируя параллелограмм можно получить произвольный четырёхугольник. Более того, проектируя отрезок, можно получить луч.
Но есть и ряд свойств, которые сохраняются при любом центральном проектировании. Эти свойства Понселе и назвал проективными. Такими свойствам является, например, свойство точек лежать на одной прямой или на одной ЛВП. Однако уже свойство точки лежать между двумя другими не является проективным .
Свойства, связанные с длинами отрезков и величин углов, также не являются проективными.
Значительное место в проективной геометрии занимает введение так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) геометрических элементов.
Дополним пространство Е3 новыми точками, а именно: ко всем обычным точкам каждой прямой мысленно добавим ещё одну, несобственную точку. Будем считать, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а непараллельные прямые – различные. Обычные точки будем называть собственными. Прямую, дополненную несобственной точкой, назовём расширенной. Каждая плоскость имеет бесконечное множество параллельных прямых, следовательно и несобственных точек. Пусть все несобственные точки плоскости образуют несобственные прямые, а все несобственные точки пространства - несобственную плоскость. Плоскость, дополненную расширенной прямой, будем называть расширенной плоскостью.
Взаимное расположение расширенных прямых и
плоскостей.
Любые 2 прямые, лежащие в плоскости, пересекаются, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) точку.
Любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость, т.е. имеет с ней общую (собственную или несобственную) точку.
Любые 2 плоскости пересекаются по прямой, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) прямую.
Сформулируем понятие проективного пространства.
Пусть V – векторное пространство n+1 измерений над компонентом R. – множество всех ненулевых векторов этого пространства. Непустое множество Р называется проективным пространством n-измерений, если задано отображение f: →P, удовлетворяющее следующим свойствам (аксиомам проективного пространства):
1) f – сюрьективно,
2) f(х)=f(у) ↔ и компланарны.
Элементы множества Р называются точками проективного пространства.
Зададим проективный репер на плоскости и прямой. Пусть σ – проективная плоскость. Упорядоченная система точек А1, А2, А3, Е общего положения плоскости σ называется проективным репером, Аi – вершины репера, Е – единичная точка, Аi Аj – координатные прямые. Если векторы а1, а2, а3, е порождающие вершины и единичную точку проективного репера выбраны таким образом, что е=а1+а2+а3, то будем говорить, что система векторов согласована относительно репера R (рис. 5).
Введём понятие координат точек на проективной плоскости.
Пусть Х – произвольная точка плоскости σ, на которой задан проективный репер R. Рассмотрим какой-либо вектор х, порождающий точку Х и согласованную систему векторов. Примем векторы а1, а2, а3 за базис векторного пространства, разложим вектор х по базису х=х1 а1+х2 а2+х3 а3 .
Т огда точка Х имеет следующие координаты Х(х1, х2, х3)R.
рис. 5
Утверждение: Проективные координатные точки х зависят от выбора как вектора х, так и системы векторов а1, а2, а3, е, согласованной относительно репера R (т.е. заданием проективного репера координаты произвольной точки плоскости σ определяется с точностью до общего множителя).
Теорема: Три точки Х(х1, х2, х3), Y(y1, y2, y3), Z(z1, z2, z3), заданные кординатами в репере R, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.
Вершины и единичная точка репера имеют координаты :
А1(1,0,0), так как а1=1*а1+0*а2+0*а3
А2(0,1,0), так как а2=0*а1+1*а2+0*а3
А3(0,0,1), так как а3=0*а1+0*а2+1*а3
Е (1,1,1), так как е=1*а1+1*а2+1*а3
Из теоремы следует, что точка Х(х1, х2, х3) лежит на координатной прямой А1А2 тогда и только тогда, когда координаты точек удовлетворяют равенству:
, то есть х3=0 и координаты точки Х(х1, х2, 0).
А налогично определяются и координаты точек на проективной прямой. Изображение проективного репера на прямой дано на рис. 6.
рис. 6
Рассмотрим на плоскости проективный репер R=(А1, А2, А3, Е). Пусть Х – произвольная точка плоскости, отличная от А3, а Х3=А2А1∩ХА3. Точка Х3 называется проекцией точки Х на прямую А1 А2 из центра А3. Проекции каждой точки прямой А1 А2 совпадают с самой точкой (рис.7).
рис. 7
Обозначим через Е3 проекцию единичной точки репера R из центра А3 на прямую А1А2. Упорядоченная система точек (А1 ,А2 , Е3) на прямой А1 А2 образует проективный репер, который будем обозначать R3. Аналогично вводим R1 и R2. Отсюда следует, если на плоскости задан репер R , то на каждой из координатных прямых возникает свой репер.
Теорема: Если произвольная точка Х плоскости, отличная от А3 в репере R имеет координаты (х1 , х2 , х3 ),то проекция Х3 точки Х из центра А3 на А1 А2 в R имеет координаты (х1 , х2)