5. Метод Некрасова.
Пусть СЛАУ задана в виде
(5.1)
Будем решать ее методом Некрасова. Для этого, во-первых, каждое уравнение системы (5.1) разрешим относительно соответствующей переменной (см. метод простой итерации).
(5.2)
Систему (5.2) можно записать компактно
,
. (5.3)
Во-вторых, систему (5.3) будем решать стационарным методом Зейделя по формулам:
,
,
(5.4)
Алгоритм численной реализации метода Ньютона для решения системы (5.1) по формулам (5.4) может быть таким.
Выберем , например,
,
Положим .
Для всех вычислим .
Для всех проверим условия
.Если все условия в п.4 будут выполнены, то за приближенное решение системы (5.1) выберем либо , либо и закончим вычисления. Если хотя бы одно условие в п.4 не будет выполнено, перейдем к п.6.
Положим и перейдем к п.3.
Изложенный алгоритм можно записать геометрически.
Достаточным условием сходимости метода Некрасова является требование, чтобы матрица A, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных в системе (5.1), была симметричной и положительно определенной.
Задания.
Коэффициенты при
переменных
и свободные члены
в системе уравнений даны в виде расширенной
матрицы
Во всех заданиях требуется:
Составить программу численной реализации метода, согласно предложенному алгоритму.
Получить результаты вычислений.
Проверить полученные результаты.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Литература
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 2000.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам: Учебное пособие. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.
Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – Спб.: БХВ-Петербург, 2005.