Ответ №9.

Точки разрыва функции.

Определение: Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.

Примеры:

1) f(x) = [x].

x = n (целое)-точка разрыва.

2) D(x) = (функция Дирихле).

D(x) имеет разрыва в каждой точке числовой прямой, так как  точки а D(x) не существует.

3) f(x) = x D(x)

f(x) непрерывна в точке х = 0, так как f(x) = 0 = f(0).

f(x) разрывна во всех остальных точках, так как  а  0 f(x) не существует- (докажите самостоятельно).

Классификация точек разрыва.

1)Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если  f(x), но

f(x)  f(a) , либо в точке а функция f(x) вообще не определена.

Пример:

f(x) = . Будет доказано, что = 1, но в точке х = 0 функция не определена, тем самым х = 0 -точка устранимого разрыва этой функции.

Если положить f(x) = , то f(x) станет непрерывной в точке х = 0, то есть разрыв будет устранён.

2) Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если  f(x) и f(x), но f(x)  f(x).

Пример:

f(x) = [x]

x = n (целое) - точки разрыва первого рода этой функции.

3) Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Примеры:

1) f(x) = , х = 0 - точка разрыва второго рода, так как f(+0) = +, f(-0) = -.

2) Функция Дирихле D(x)-любая точка является точкой разрыва второго рода.

Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В частности, f(x) непрерывна на сегменте [a, b] (a < b), если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента, непрерывна в точке а справа и в точке b слева.

Пример:

f(x) = непрерывна на любом сегменте, в точках которого (х) не обращается в нуль.

Ответ №10

Четные и нечетные функции.

Функция у = f (х) называется ч

етной, если для любого х из

области определения функции выпол

няется равенство f (- х) = f (x).

Функция у = f (х) называется нечетной,

если для любого х из области определения

функции

выполняется равенство f (- x) = - f (x).

Например, у = х², у = х⁴, у = x⁶ - четные функции,

а у = х³, у = х⁵, у = х⁷ - нечетные функции.

Если функция у = f (х) такова, что хотя бы для од

ной пары значений х и -х оказалось, что f (-х) ≠ f (х)

, и хотя бы для другой пары значений х и - х оказалось, что f (- х) = f (х), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Из определения следует, что область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если х   Х, то и - х   Х (т. е. X - симметричное относительно 0 множество).

График четной функции. График нечетной функции.

Графики четной и нечетной функций обладают

следующими особенностями: Если функция является четной,

то ее график симметричен относительно оси ординат.

Если функция является нечетной,

то ее график симметричен относительно

начала координат.

G