1. Пример обработки экспериментальных данных классического эксперимента

1. Принимаем вид математической модели – зависимости . Пусть такой моделью зависимости будет считаться функция

,

где - постоянный коэффициент.

2. Рассмотрим первый вариант обработки результатов экспериментального исследования и получения выбранной зависимости. Используем метод построения графиков в двойной логарифмической системе координат.

Переводим значения исходных данных в логарифмы (табл. 3).

Табл. 3

N	lgt	lgS	lgFz	lgυ	lgt·lgS	lgt·lgυ	lgS·lgυ	lgFz·lgυ	lgFz·lgS	lgFz·lgt	(lgt)²	(lgS)²	(lgυ)²
1	0,13	-1,09	1,9	2,05	-0,141	0,2665	-2,234	3,895	-2,071	0,247	0,0169	1,1881	3,61
2	0,13	-0,74	2,08	2,05	-0,096	0,266	-1,517	4,264	-1,5392	0,2704	0,0169	0,5476	4,3264
3	0,13	-0,55	2,18	2,05	-0,071	0,2665	-1,127	4,469	-1,199	0,2834	0,0169	0,3025	4,7524
4	0,13	-0,32	2,3	2,05	-0,041	0,2665	-0,656	4,715	-0,736	0,299	0,0169	0,1024	5,29
5	0,27	-0,32	2,26	2,05	-0,041	0,2665	-0,656	4,633	-0,7232	0,6102	0,0729	0,1024	5,1076
6	0,45	-0,32	2,51	2,05	-0,041	0,2665	-0,656	5,1455	-0,8032	1,1295	0,2025	0,1024	6,3001
7	0,59	-0,32	2,54	2,05	-0,041	0,2665	-0,656	5,207	-0,8128	1,4986	0,3481	0,1024	6,4516
8	0,27	-0,32	2,23	2,36	-0,041	0,3068	-0,755	5,2628	-0,7136	0,6021	0,0729	0,1024	4,9729
9	0,27	-0,32	2,19	2,48	-0,041	0,3224	-0,793	5,4312	-0,7008	0,5913	0,0729	0,1024	4,7961
10	0,27	-0,32	2,15	2,65	-0,041	0,3445	-0,848	5,6975	-0,688	0,5805	0,0729	0,1024	4,6225
11	0,27	-0,32	2,13	2,87	-0,041	0,3731	-0,918	6,1131	-0,6816	0,5751	0,0729	0,1024	4,5369
∑	2,91	-4,94	24,47	24,71	-0,636	3,2118	-10,82	54,8331	-10,6684	6,6871	0,9827	2,8574	54,7665

Расчет скорости резания для вала диаметром D =120 мм дает следующие результаты:

;

;

;

;

.

Графический вид принимаемой степенной зависимости аппроксимируем в виде 3-х графиков в двойной логарифмической системе координат.

Каждый раз в системе координат должна строиться прямая линия, так как логарифмирование приводит к прямолинейному соотношению. Например, для последней системы координат имеем:

;

После перевода исходных данных и выходного параметра в логарифмы, строим графики зависимости ,

рисунки 1-3.

По построениям находим показатели степеней при S, t и υ, то есть , , .

t	lgt	FZ	lgFZ
1,35	0,13	200	2,3
1,85	0,27	180	2,26
2,85	0,45	320	2,51
3,85	0,59	350	2,54

а)

Рис. 1 б)

а) таблица исходных данных t(lgt) – F₂(lg F₂),

б) график зависимости lg F₂ = ƒ (lgF₂).

;

Масштаб: 10– 0,1мм для и

U	lgU	FZ	lgFZ
230,38	2,36	170	2,23
300,09	2,48	155	2,19
445,16	2,65	140	2,15
746,60	2,87	135	2,13

а)

Рис. 2 б)

а) таблица исходных данных υ (lg υ) – F₂(lg F₂),

б) график зависимости lg F₂ = ƒ (lg υ).

;

Масштаб: 10 - 0,1мм для и

S	lgS	FZ	lgFZ
0,08	-1,09	80	1,90
0,18	-0,74	120	2,08
0,28	-0,55	150	2,18
0,48	-0,32	200	2,30

а)

Рис. 3 б)

а) таблица исходных данных S (lg S) – F₂(lg F₂),

б) график зависимости lg F₂ = ƒ (lg S).

;

Масштаб: 10 мм – 0,1для и

По результатам построения имеем: , , .

Для завершения построения общей модели F_z = ƒ(S,t,υ) необходимо найти значение коэффициента для зависимости .

Для этого используем метод определения частных значений на основе табл. 1 (значение F_z) и полученных показателей степени X_Fz, Y_Fz, n_Fz.

Для строки 3 табл. 1 имеем:

Для строки 6 табл. 1 соответственно имеем:

Для строки 9 табл.1:

Среднее значение найдем по зависимости:

.

В итоге общая математическая модель зависимости принимает вид .

1.3. Обработка результатов классического экспериментального исследования по методу наименьших квадратов.

Математическую модель результатов эксперимента находим для таблицы 1 в виде той же степенной функции:

.

Из принятой степенной функции после логарифмирования получаем образец нормальных уравнений в виде соотношения

.

Комплекс нормальных уравнений, образуемых по методу наименьших квадратов, будет состоять из 4-х уравнений.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

Используя таблицу 3, находим:

1)

2)

3)

4)

Расчет значений X_Pz; Y_Pz; n_Fz производится с использованием компьютерных технологий (методов решения систем уравнений, например, метод Крамера, а также методов решения математических задач в программе Excel, см http://www.exponenta.ru/educat/systemat/kapustin/006.asp)