Тудоровський олександр ілларіонович

(1875-1963)

Розробив теорію розрахунку приладів з дифракційною граткою, запропонував строгі методи розрахунку ходу променів у таких приладах.

§97. Дифракція рентгенівського випромінювання

Рентгенівським випромінюванням є електромагнітні хвилі, довжина яких лежить в інтервалі . Залежно від умов отримання рентгенівське випромінювання утворює суцільний або лінійчастий (характеристичний) спектр.

Для спостереження дифракції на гратці необхідно, щоб її період d був того самого порядку, що і довжина хвилі падаючого випромінювання. Для рентгенівських променів ідеальними природними дифракційними гратками є монокристали, в яких атоми та іони розміщені на відстані порядку . Кристалографічні дослід­ження показали, що у будь-якому кристалі можна виявити певні площини, де атоми або іони, які утворюють його кристалічну ґратку, розміщені найбільш густо. Такі площини відбиватимуть монохроматичне рентгенівське випромінювання, яке може інтерферувати від різних площин.

На рис. 236 зображено сусідні площини кристала і . Абсолютний показник заломлення всіх середовищ для рентгенівських променів близький до одиниці. Тому оптична різниця ходу між двома променями і , які відбиваються від площин і і, дорівнює

,

де d – відстань між площинами, а кут – кут між площиною та падаючими та відбитими променями або кут повзання. Якщо довжина хвилі рентгенівських променів , то інтерференційні максимуми у відбитих променях спостерігатимуться, коли

, .

Співвідношення 2dsin =mλ є формулою Вульфа-Брегга. Дифракція виникає не в довільному напрямку падіння монохроматичного випромінювання, тому для її спостереження треба повертати кристал так, щоб кут ковзання задовольняв умову . Якщо обертати кристал або проводити експеримент з полікристалічною системою, в якій окремі кристалики орієнтовані довільно, то можна отримати певну систему інтерференційних картин від усіх можливих типів атомних площин певного кристала.

Дифракція рентгенівських променів є основою рентгеноструктурного аналізу, який дає можливість вивчати структуру кристалів, амфотерних твердих тіл, рідин, а також рентгеноспектрального аналізу, що використовується для вивчення рентгенівських спектрів, а також для визначення хімічного складу речовин.

§98. Дисперсія світла. Області нормальної і аномальної дисперсії

Дисперсією світла називається залежність показника заломлення n речовини від частоти (довжини хвилі ) світла або залежність фазової швидкості світла в середовищі від його частоти .

Дисперсію світла представляють у вигляді залежності .

Наслідком дисперсії є розклад у спектр пучка білого світла при проход­женні його через призму.

Такий дослід вперше виконав в 1672 р. Ньютон. Схема досліду наведена на рис. 237.

Промінь світла від Сонця проходить через малий круглий отвір F у ставні вікна, потім заломлюється в скляній приз­мі ABC і падає на аркуш білого паперу. При цьому кругле зображення отвору F розтягується в кольорову смугу MN, яку Ньютон назвав спектром.

Розглянемо дисперсію світла у призмі. Нехай монохроматичний пучок світла падає на призму з показником за­ломлення n під кутом (рис. 238).

Кут – заломлюючий кут призми. Із рис. 238 видно, що кут відхилення дорівнює:

.

Нехай кути і малі, тоді кути , і також будуть малі і синуси цих кутів дорівнюватимуть кутам. Тому

, .

Оскільки , то

,

і .

В результаті

,

тобто кут відхилення променів призмою тим більший, чим більший заломлюючий кут призми. Оскільки кут відхилення залежить від величини n–1, а n є функцією довжини хвилі, то промені різних довжин хвиль після проходження призми виявляються відхиленими на різні кути.

Кутовою дисперсією призми, що відповідає сталому значенню кута падіння , називається величина

.

Кут відхилення буде мінімальним, коли промінь проходить через призму паралельно до її основи. За такої умови і , тоді

, а .

Згідно із законом заломлення

.

Звідси

.

Тоді

.

Для спектральних приладів призми виготовляють здебільшого із заломлюючи­ми кутами . Тоді

, де .

За допомогою призми, як і за допомогою дифракційної гратки можна визначити спектральний склад світла.

Розглянемо відмінності в дифракційному і призматичному спектрах:

a) дифракційна гратка розкладає падаюче світло безпосередньо по довжинах хвиль, тому за виміряними кутами можна обчис­лити довжину хвилі.

Розклад білого світла в призмі відбувається за значеннями показника заломлення, тому для визначення довжини світла треба знати залежність .

У дифракційному спектрі кольори розміщуються за порядком зростання довжини хвилі, а в дисперсійному – навпаки. Дифракційною граткою червоні промені, що мають більшу довжину хвилі, ніж фіолетові, відхиляються сильніше.

На рис. 239 наведені залежності показника заломлення n від довжини хвилі для скла , кварцу і флюоріта .

Як видно із рис. 239, показник заломлення n монотонно зростає зі зменшенням довжини хвилі . Отже, призмою червоні промені, що мають менший показник заломлення, ніж фіолетові промені, відхилюються на менший кут , ніж фіолетові.

б) дифракційний спектр рівномірно розтягнутий на всіх своїх ділянках. Дисперсійний же спектр білого світла стиснутий у червоній області і розтягнутий у фіолетовій, тому що показник заломлення скла в області коротких хвиль при зміні довжини хвилі випромінювання змінюється швидко, а в області довгих хвиль – повільно.

Залежність в оптичній області спектра має складний характер; для тих ділянок спектра, які слабо поглинають­ся даною речовиною, залежність показ­ника заломлення від довжини хвилі може бути подана у вигляді формули Коші:

або .

Величина, яка показує, як швидко змінюється показник заломлення п речовини з довжиною хвилі називається дисперсією речовини D:

.

Дисперсію світла в середовищі називають нормальною, якщо із зростанням частоти світла абсолютний показник заломлення n середовища також зростає:

, .

Така залежність показника заломлення n від буде в тих областях частот, для яких середовище прозоре. Наприклад, звичайне скло прозоре для видимого світла і в цьому інтервалі частот має нормальну дисперсію.

Дисперсію світла в середовищі називають аномальною, якщо із зростанням частоти світла абсолютний показник заломлення середовища n зменшується:

, .

Аномальна дисперсія буде в області частот, які відповідають смугам інтенсивного поглинання світла речовиною. Для скла ці смуги лежать в ультрафіолетовій й інфрачервоній частині спектра. Аномальній дисперсії відповідає інтервал частот від до (рис. 240).

В різних ділянках спектра дисперсія характеризується тією зміною показника заломлення, яка припадає на одиничний інтервал довжин хвиль. Ця величина називається середньою дисперсією для ділянки спектра , .

У довідникових таблицях показники заломлення різних речовин даються для жовтої лінії натрію =0,5893мкм і позначаються . Середня дисперсія визначається за синьою =0,4861мкм і червоною =0,6563мкм лініях водню і позначається . Величина називається відносною дисперсією, обернена її величина – коефіцієнтом дисперсії.

Оскільки показник заломлення n світла залежить від частоти коливання світла, то швидкість його поширення також залежить від частоти коливань елек­тромагнітної хвилі. А яку швидкість поширення світлового сигналу вимірюють дослідним шляхом?

Усі приймачі світла реагують на енергію, тому в дослідах вимірюють швидкість перенесення енергії світловим сигналом і яка називається її груповою швид­кістю. Вона відрізняється від швидкості поширення фази, яка називається фазовою швидкістю.

Розглянемо дві плоскі хвилі, які поширюються вздовж осі ОХ. Нехай амплітуди цих хвиль одинакові, початкові фази , а різниця між частотами і хвильовими числами незначна:

, .

Додаючи ці коливання і нехтуючи в порівнянні з і в порівнянні з , дістанемо квазікосинусоїдальну хвилю, яка називається групою хвиль, або хвильовим пакетом:

.

Амплітуда цієї хвилі залежить від координати x і часу t:

.

Отриманий вираз для амплітуди хвильового пакета є рівнянням плоскої косинусоїдальної хвилі, яка є хвилею амплітуди коливань і фаза якої

.

Об’ємна густина w енергії хвилі прямо пропорційна до квадрата амплітуди цієї хвилі. Отже, швидкість u поширення енергії хвильового пакета збігаються з фазовою швидкістю хвилі амплітуди. Диференціюючи вираз для в припущенні, що , дістаємо

і групова швидкість

.

або в границі, коли і прямують до нуля, дістанемо:

.

Оскільки

, а , то , .

Групова швидкість

Якщо , то , тобто фазова і групова швидкості збігаються. Цей випадок має місце для вакууму.

При нормальній дисперсії і u< . При аномальній дисперсії , u> і, зокрема, якщо , то u>c.

Цей результат не протирічить твердженню спеціальної теорії відносності про те, що швидкість передачі будь-якого сигналу не може перевищувати c. Поняття групової швидкості застосовне лише при умові, що поглинання енергії хвилі в даному середовищі невелике. При значному згасанні хвилі поняття групової швидкості втрачає сенс. Саме в області аномальної дисперсії поглинання дуже велике, і поняття групової швидкості не можна використовувати.