3. Декартово произведение. Разбиение множеств.

Декартовым призведением множеств называется множество всех возможных пар, такое что первый элемент взят с первого множества, второй со второго. Порядок важен.

А={a1;a2;a3} B={b1;b2)

AxB={(a1,bi);(a1,b2);(a2,b1);(a2,b2);(a3,b1);(a3,b2)}

некомуттативно

AxB≠BxA

AxB=A^2=B^2 (A=B) (Декартов квадрат)

Декартовым произведением множеств А1,А2,...,Аn называется множество всех упорядоченых последовательностей, таких что первый элемент есть первое множество..., n элемент принадлежит n множеству

Ax(BxC)={(a,d)}={(a,(b,c))} (a,b,c):a принадлежит А; b принадлежит B; с принадлежит С. d принадлежит BxC

R(A) – множество непустых подмножеств А таких, что они попарно не пересекаются и их объединение совпадает с А.

R(A)={А1,А2,… Аk}; 1)Любое А системы не пустое: Ai(i=1..k); 2)Они попарно не пересекаются: AiAj=(ij); 3)Их объеденение даёт исходное мно-во А: А1А2… Аk=A

= А1А2… Аk (*)

Само конкретное разбиение опредиляется правилом R. Элементы А1,А2,… Аk наз. классами разбиения или прямыми слогаемыми. Если для семейства А1,А2,… Аk выполняются св-ва 1-3, то их объединение наз. прямой суммой. Разбиение наз. тривиальным, если каждое из мн-в Аi одноэлементно (|Ai|=1, Ai-прямые слагаемые). Разбиение R’(A) наз. подразбиением разбиения множества R’’(A), если каждый элемент R’(A), является подмножеством некоторого элемента разбиения R’’(A). Тривиальное разбиение является подразбиением любого другого разбиения. |…|-мощность мн-ва; |А|=0; |А|=n; |A|< ; |A|= ; А={2,10,1}; R1(A)={{2},{1},{10}}; R2={{2,10},{1}}; R3={{2,1},{10}}; R4={{10,1},{2}}; R5={{2,1,10}}=A

4. Алгебра множеств

Пусть А — некоторое множество.

Множество всех подмножеств множества А называется булеаном на множестве А. 2^А — булеан. 2^A={{a1}, {a2}, {a3}, {a1,a2}, {a1,a3}, {a2,a3}, A, 

Мощность булеана: |2^A|=2^|A|=2^n |A|=n-мн-тво n-элементов

Алгебраическая система — это множество, наделённое некоторой структурой. Сама структура задаётся при помощи операций и возможно некоторых свойств. Если над элементами булеана, как над множеством проводить опеации объединения, пересечения, дополнения до множества А, то в результате получим подмножество множества А, то есть элементы Булеана.Такое свойство называется замкнутостью.

1.А=А

2. АА=А

3. А(ВС)=(АВ)С

4.А(ВС)=(АВ)(АС)

5.(АВ)=АВ

6. АВ=ВА

7.А(ВВ)=А

Система тождеств выбирается таким образом, что любое другое тождество является их следствием. В этом случае выбранная система тождеств называется системой аксиом, а тождество называется аксиомой.

Тождества являются следствием системы аксиом, если оно может быть получено из какой-то аксиомы путём тождественных преобразований, используя только эту систему аксиом.

(АВ)=(АВ) => АВ=(АВ)=>АВ=АВ=>АВ= АВ

Система аксиом 1-7 не единственная

1')А=А

2') АА=А

3') А(ВС)=(АВ)С

4')А(ВС)=(АВ)(АС)

5') АВ=АВ

6') АВ= ВА

Операции над множ-ми можно интерпретировать как операции над некоторыми физ. объектами, тогда система аксиом трактуется как правила тождественных преобразований физичских объектов, которые рассматриваются.