- •Оглавление
- •Основные сведения. Тригонометрические ряды Фурье для функций с периодом.
- •Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.
- •Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье.
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π.
- •Тригонометрические ряды Фурье для функции любого периода.
- •Комплексная форма ряда Фурье.
- •Интеграл Фурье.
- •Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.
- •Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •Преобразование Фурье.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π.
Прежде всего отметим, что в дальнейшем нам придется пользоваться следующим свойством интеграла по симметричному относительно х-0 промежутку:
a 0, если ƒ(x) – нечетная функция
∫ ƒ(x)dx={ a
-a 2 ∫ ƒ(x)dx, если ƒ(x) – четная функция
0
В самом деле,
a 0 a
∫ ƒ(x)dx=∫ ƒ(x)dx + ∫ ƒ(x)dx
-a -a 0
Сделаем в первом интеграле подстановку х= -t, тогда
0 0 a a
∫ ƒ(x)dx= – ∫ ƒ(–t)dx=∫ ƒ(–t)dx=∫ ƒ(–x)dx
-a a 0 0
При этом
a a
∫ ƒ(x)dx=∫[ƒ(x) + ƒ(-x)]dx
-a 0
Если ƒ(x) – четная функция, то ƒ(-x)= ƒ(x) и, следовательно,
a a
∫ ƒ(x)dx=2∫ƒ(x)dx
-a 0
Если же ƒ(x) нечетная функция, то ƒ(-x)= -ƒ(x) и, следовательно,
a
∫ ƒ(x)dx=0
-a
Заметим, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.
Пусть теперь ƒ(x) – четная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда, используя только что полученное свойство интегралов, получим:
π π
an=1/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx=2/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx (n=0,1,2…),
-π 0
π
bn=1/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx=0 (=1,2…),
-π
Таким образом, ряд Фурье для четной функции содержит только четные функции – косинусы и записывается так:
∞
ƒ(x)= a0 /2 + Σ an cos(nx)
n=1
при этом
π
an=2/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx (n=0,1,2…),
0
Рассуждая аналогично, получаем, что если ƒ(x) – нечетная периодическая (Т=2π) функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то
π
an=1/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx=0 (n=0,1,2…),
π -π π
bn=1/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx=2/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx (=1,2…),
-π 0
Следовательно, ряд Фурье для нечетной функции содержит только нечетные функции – синусы и записывается следующим образом:
∞
ƒ(x)= Σ bn sin(nx)
при этом n=1
π
bn=2/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx (n=1,2…),
0
Заметим, что если функция ƒ(x) задана на отрезке [0, π] [интервале (0, π)] и удовлетворяет в рассматриваемом промежутке условиям разложимости в ряд Фурье, то в этом промежутке ее можно бесчисленным множеством способов разложить в ряд Фурье. В частности, функцию ƒ(x) можно разложить в ряд по косинусам или по синусам, для этого нужно продолжить функцию ƒ(x) с заданного промежутка соответственно на промежуток (-π, 0) (промежуток (-π, 0)) соответственно четным или нечетным образом, исходя из условия
ƒ(-x) = ƒ(x) или ƒ(-x)=- ƒ(x)