- •Оглавление
- •Основные сведения. Тригонометрические ряды Фурье для функций с периодом.
- •Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.
- •Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье.
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π.
- •Тригонометрические ряды Фурье для функции любого периода.
- •Комплексная форма ряда Фурье.
- •Интеграл Фурье.
- •Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.
- •Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •Преобразование Фурье.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.
Пусть ƒ(x) – четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. +∞ l
Учитывая, что ∫ = lim ∫, а также свойство интегралов по симметричному относительно
-∞ l→ + ∞ -l
точки х→0 интервалу от четных функций, из равенств (7) получаем:
+∞
a(u)=2/π ∫ ƒ(t)cos (ut)dt
0 }(8)
b(u)=0
Таким образом, интеграл Фурье четной функции ƒ(x) запишется так:
+∞
ƒ(x)= ∫ a(u)cos (ux)du (9)
0
Где а(u) определяется равенством (8).
Рассуждая аналогично, получим, что для нечетной функции ƒ(x), удовлетворяющей условиям представимости интегралом Фурье,
а(u)=0
+∞ }(10)
b(u)= 2/π ∫ ƒ(t)sin (ut)dt
0
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
+∞
ƒ(x)= ∫ b(u)sin (ux)du (11)
0
где b(u) определяется равенством (10).
Заметим, что если функция ƒ(х) задана на промежутке [0, +∞) и удовлетворяет на этом промежутке условиям представимости интегралом Фурье (т.е. ƒ(х) – абсолютно интегрируемая функция на промежутке [0, +∞) и кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на любом отрезке [0, l]), то формула (9) продолжает функцию ƒ(х) на всю числовую ось. Подставляя выражения а(u) и b(u) (формулы (8) и (10)) в равенства (9) и (11), получаем:
+∞ +∞
ƒ(x)= 2/π ∫ cos (ux)du ∫ ƒ(t)cos (ut)dt (12)
0 +∞ 0 +∞
ƒ(x)= 2/π ∫ sin (ux)du ∫ ƒ(t)sin (ut)dt (13)
0 0
Первые части равенств (12) и (13) для четной и нечетной функций, представимых интегралом Фурье, называются двойным интегралом Фурье соответственно четной и нечетной функций.
Интеграл Фурье в комплексной форме.
Пусть ƒ(х) – функция, представимая интегралом Фурье, тогда на основании формулы (6) +∞
ƒ(x)= ∫ [a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)]du
0
при этом по формулам (7) имеем: +∞
a(u)= 1/π ∫ ƒ(t)cos (ut)dt
-∞ +∞
b(u)= 1/π ∫ ƒ(t)sin (ut)dt
-∞
Преобразуем подынтегральное выражение, используя формулы Эйлера:
a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)=(a(u)(e^(inx)+ e^(-inx)))/2 + (b(u)(e^(inx) - e^(-inx)))/2i=(a(u)(e^(inx)+ e^(-inx)))/2 – (ib(u)(e^inx) – e^(-inx)))/2=((a(u) – ib(u))e^(inx))/2 + ((a(u) + ib(u))e^(-inx))/2
Если обозначить
(a(u) - ib(u))/2=c(u)
} u≥0
(a(u) + ib(u))/2=c(-u)
то подынтегральная функция запишется так:
a(u)cos ux + b(u)sin ux= c(u)e^(inx)+ c(-u)e^(-inx)
и, значит, +∞ +∞
ƒ(x)= ∫ [a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)]du= ∫ [c(u)e^(inx) + c(-u)e^(-inx)]du
0 0
или, иначе A
ƒ(x)= lim ∫ [c(u)e^(inx) + c(-u)e^(-inx)]du (14)
A→ + ∞ 0
Преобразуем теперь частные интегралы, входящие в равенство (14):
A A A A 0
∫ [c(u)e^(inx) + c(-u)e^(-inx)]du=∫ c(u)e^(inx)du +∫ c(-u)e^(-inx)du=∫ c(u)e^(inx)du +∫ c(
0 0 A 0 0 -A
u)e^(-inx)du=∫ c(u)e^(inx)du
A -A
(При этом мы учли, что интеграл ∫ c(-u)e^(-inx)du= с помощью подстановки –u = v
A 0
примет вид ∫ c(v)e^(inx)dv, который, как известно, не зависит от написания переменной
-A
0
интегрирования и поэтому может быть записан в виде ∫ c(u)e^(inx)du).
-A
Учитывая это, равенство (14) запишем следующим образом:
0
ƒ(x)= lim ∫ c(u)e^(inx)du
Или, что то же, A→ + ∞ -A
+∞
ƒ(x)= ∫ c(u)e^(inx)du (15)
-∞
Найдем теперь выражение для с(u). Так как
+∞ +∞ +∞
c(u)=(a(u) – ib(u))/2=1/2(1/π ∫ ƒ(t)cos(ut)dt – i(1/π) ∫ ƒ(t)sin(ut)dt)=1/2π ∫ ƒ(t)(cos(ut) –
-∞ +∞ -∞ -∞
isin(ut))dt=1/2π ∫ ƒ(t)e^(-inx)dt
-∞
То окончательно +∞
c(u)=1/2π ∫ ƒ(t)e^(-inx)dt (16)
-∞
Равенство (16) получено при условии, что u≥0, нетрудно видеть, что оно сохраняется и при u<0. Действительно,
+∞ +∞ +∞
c(-u)=(a(u) + ib(u))/2=1/2(1/π ∫ ƒ(t)cos(ut)dt + 1/π) ∫ ƒ(t)sin(ut)dt)= 1/2π ∫ ƒ(t)e^(
-∞ +∞ -∞ -∞
-inx)dt=1/2π ∫ ƒ(t)e^(-i-nx)dt
-∞
Из сравнения выражений для с(u) и с(-u) заключаем, что равенство (16) верно при всех
+∞
действительных значениях u. Выражение ƒ(x)= ∫ c(u)e^(inx)du называется интегралом
-∞
Фурье в комплексной форме функции ƒ(x).
Если выражение с(u) подставить в равенство (15), то получим:
+∞ +∞
ƒ(x)= 1/2π ∫ e^(inx)du ∫ ƒ(t)e^(-inx)dt
-∞ -∞
или после внесения e^(inx) под знак внутреннего интеграла:
+∞ +∞
ƒ(x)= 1/2π ∫ du ∫ ƒ(t)e^(in(x-x))dt (17)
-∞ -∞ A
где наружный интеграл понимается как lim ∫.
+∞ +∞ A→ + ∞ -A
Выражение 1/2π ∫ du ∫ ƒ(t)e^(in(t-π))dt называется двойным интегралом Фурье в
-∞ -∞
комплексной форме функции ƒ(x)