1. Лекция №6 Математическое описание линейных систем автоматического управления

Объекты и системы управления технологическими процессами состоят из элементов, имеющих различную природу. Описание каждого элемента дается на языке механики, электротехники, химических или физических процессов. Для анализа взаимодействия удобно перейти к единообразному описанию. В инженерной практике получил наибольшее распространение следующий способ:

а) каждый реальный элемент рассматривается как устройство, звено системы, в котором осуществляется преобразование одного процесса, называемого входным воздействием, в другой, называемой входной реакцией, или просто преобразование "вход - выход".

б) взаимодействие между звеньями задаются путем описания связи между их входами и выходами, определяющих структуру схемы.

Математическое описание вход - выходных соотношений может быть аналитическим (с помощью уравнений), графическим (с помощью графиков, структурных схем, графов) и табличным (с помощью таблиц).

Математическое описание можно получить аналитическим на основе физических и химических законов, которым подчиняются технологические процессы, или экспериментально.

Обычно вход - выходные соотношения описываются линейными или нелинейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, передаточными функциями или импульсными функциями.

1. Классификация систем

Различают одномерные системы, имеющие один вход и один выход, и многомерные системы с несколькими входами и выходами (Рис 6.1 рис 6.2).

Рисунок 6‑1 Одномерная система Рисунок 6‑2 Многомерная система

Автоматическая система, как правило, является динамической, то есть процессы в ней протекают во времени. Динамическая система характеризуется определенным оператором. Под оператором понимают математические действия: алгебраические операции, дифференцирование, интегрирование, решение интегральных и дифференциальных уравнений, других функциональных уравнений, а также другие логические операции. Поэтому вход и выход связаны в общем случае

(6.1.)

где H - оператор системы.

2. Принцип суперпозиции

Оператор H называется линейным, если при любых числах C₁ ,..,C_n и любых функциях x(t),..,x_n(t) выполняется равенство:

(6.2.).

Свойство, выраженное формулой (6.2) называется принципом суперпозиции и состоит в том, что результат действия линейного оператора на линейную комбинацию заданных функций является линейной комбинацией от результатов его действия на каждую функцию в отдельности с теми же коэффициентами.

Примерами линейных операторов является оператор дифференцирования

(6.3.)

и интегрирующий оператор общего вида

(6.4.)

где - некоторые известные функции.

Оператор H называется нелинейным, если для него не выполняются принцип суперпозиции

(6.5.)

и интегрирование нелинейной функции

(6.6.)

где - нелинейная функция.

Стационарные и нестационарные системы

Оператор системы может быть стационарным и нестационарным. В первом случае свойства оператора не зависят от времени, во втором случае он может менять во времени свои свойства и структуру. Если оператор системы стационарен, то такая система называется стационарной. Если динамическая система описывается уравнением, то характерным признаком стационарности системы является постоянство всех параметров (коэффициентов) уравнения. В противном случае система является нестационарной.

Системы уравнения и их операторы могут быть непрерывными и дискретными - эти системы могут быть линейными и нелинейными.

Большинство систем в целом можно отнести к системам сосредоточенными или распределенными параметрами.