16.Скалярное поле, векторное поле

     Определение 1: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определена скалярная функция u = u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u = u(M) = u(x,y,z).

Примерами скалярных полей являются: поле температуры T внутри тела, поле потенциала электрического заряда, поле плотности тела и т.д.

     Определение 2: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определен вектор

то говорят , что в области V  задано векторное поле .

Примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, поле электрической напряженности , поле магнитной напряженности и т.д.

 Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются градиент (grad) скалярного поля, дивергенция(div) и ротор(rot) векторного поля.

     Определение 3: Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор

Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора. О производных функии мы писали в предыдущих статьях: Производная функции, Практическое использование понятия: производная функции.

     Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр

     Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля  

называется векторкоторый с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

17. Поток векторного поля. Рассмотрим кусок поверхности  , заданной уравнением  . Пусть выполняется условие   , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором  . Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля    через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода)   , где -      единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи.

18. Дивергенцией или расходимостью векторного поля   называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле  порождает скалярное поле div  .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградскогоможно представить в форме:

т. е. поток векторного поля   через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):

где U – скалярная функция.

19. О: Циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру называется

 (28.6)

О: Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор

 (28.7)

Используя оператор Гамильтона, формулу (28.7) можно записать в виде

 (28.8) (векторное произведение символического вектора набла на вектор ).

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом   (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах^[1] оператор набла определяется следующим образом:

,

где   — единичные векторы по осям x, y, z.

20. Понятие функции комплексной переменной. Предел. Пусть даны две плоскости комплексных чисел   и   (рис. 129). Рассмотрим некоторое множество

Рис. 129

точек   в плоскости   и множество   в плоскости  . Если каждому числу   по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число  , то говорят, что на множестве   задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество   в множество  . Символически это обозначают так:

Множество   называют областью определения функции  . Если каждая точка множества   является значением функции, то говорят, что   - область значений этой функции или образ множества   при помощи функции  . В этом случае говорят еще, что функция   отображает   на  .

Функцию   можно записать в виде

         ,

где

,

                     ,

- действительные функции от переменных  .

Если каждому   соответствует несколько разных значений  , то функция   называется многозначной.

Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолютной величины писать модуль комплексного числа.

Говорят, что функция

имеет предел в точке  , равный числу  , если

.                       (1)

В этом случае пишут

.

На языке функций   и   свойство (1) записывается в виде равенства

                   (2)

или, что все равно, в виде двух равенств

,         .                     (3)

Для комплексных функций   и   имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам действительных функций:

                      (4)

Как обычно, формулы (4) надо понимать в том смысле, что если пределы, стоящие в их правых частях, существуют, то существуют также пределы, стоящие в их левых частях, и выполняется соответствующее равенство.

Функция   называется непрерывной в точке  , если для нее выполняется свойство

,   ,  .                    (5)

Таким образом, непрерывная в точке   функция должна быть определена в окрестности этой точки, в том числе и в ней самой и должно выполняться равенство (5). Равенство (5) эквивалентно двум равенствам:

,  .

Следовательно, непрерывность   в точке   эквивалентна непрерывности функций   и   в точке  .

Из свойств (4) следует, что сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке   комплексных функций  и   есть непрерывная функция в этой точке. В случае частного надо в этой формулировке считать, что  .

21. Непрерывность ФКП. Многозначность ФКП.

ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП    непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций   и   непрерывна в точке (на множестве) как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.

Многочлен  ,   (  – степень многочлена) также есть ФКП непрерывная всюду на  –плоскости. Дробно-рациональная ФКП   (отношение двух многочленов) непрерывна всюду на своей области определения. Нули знаменателя, очевидно, не являются точками непрерывности   (их называют точками разрыва). Поскольку точек разрыва дробно-рациональной функции не более " " (конечное множество), то каждая точка разрыва – изолированная точка, т.е. можно указать окрестность точки разрыва, не содержащую других точек разрыва ФКП.

22 Основные элементарные функции.

ростейшими элементарными функциями обычно называют линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax²+bx+c), степенную (y=xⁿ, где n целое число, не равно 1), показательную (y=a^x,где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=log_a x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x), обратные тригонометрические (y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x).

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.

Выделим классы функций, которые получены из элементарных:

1. Целая рациональная функция (или многочлен): y=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n, где n - целое неотрицательное число (степень многочлена), a₀, a₁, ..., a_n - постоянные числа (коэффициенты).

2. Дробно-рациональная функция, которая является отношением двух целых рациональных функций.

Целые рациональные и дробно-рациональные образуют класс рациональных функций.

3. Иррациональная функция - это та, которая строится с помощью суперпозиции рациональной функции и степенных функций с рациональными показателями.

Рациональная и иррациональная функции образуют класс алгебраических функций. Алгебраическая функция - произвольная функция y=f(x), которая удовлетворяет уравнению:

A₀(x)yⁿ+A₁(x)y^n-1+...+A_n-1(x)y+A_n(x)=0.

Элементарные функции, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.

23. Дифференцирование функции комплексного аргумента. Теорема Коши-Римана.