Биномиальное распределение
Пусть производится п независимых испытании, в каждом из которых событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна. В качестве ДСВ X рассмотрим число появлений события А в этих п испытаниях. Очевидно, что x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, ..., xn = п. Вероятности этих (n+1) возможных значений вычисляются по формуле Бернулли:
(3)
где q=1–р - вероятность противоположного события, т.е. непоявления события А в одном испытании.
Распределение случайной величины - числа появления события А в п независимых испытаниях, называется биномиальным распределением.
Формула (3) представляет собой аналитическую форму биномиального закона распределения СВ. Правая часть в формуле (3) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Используя эту формулу, можно составить таблицу биномиального распределения.
Можно показать также, что сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице, т.е.
(4)
Пример 2. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения числа заемщиков Х, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.
Решение.
Примем за А событие - невозврат
кредита. Так как заемщики действуют
независимо, то выдачу кредитов можно
считать как п
= 5 независимых событий. Вероятность
невозврата k кредитов
из 5 описывается биномиальным распределением
(3), где р = 0,2, q =
0,8, а параметр k
принимает значения от 0 до 5. Используя
формулы для расчета
,
получаем:
X |
0 1 2 3 4 5 |
P |
0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003 |
Распределение Пуассона
Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Для случая малых значений р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта формула выведена при важном допущении, что произведение пр является постоянной величиной, т.е. пр = λ.
Вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, выражается формулой, которая представляет собой закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий
(5)
Пример 3. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.
Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0,0003, k = 4. Находим параметр λ, а затем по формуле (5) и искомую вероятность:
λ = пр = 10 000 .
0,0003 = 3, 
3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Если закон распределения установлен, то он полностью характеризует случайную величину. Однако на практике установить закон распределения бывает непросто. В этом случае часто используют числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое ocpeдненное описание случайной величины.