Основные распределения непрерывных случайных величин

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределении является постоянной.

Плотность равномерного распределения задается формулой

(41)

График плотности равномерного распределения приведен на рис.

Рис. График плотности равномерного распределения

Пример 10. Найти среднеквадратнческое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно на интервале (1, 5).

Решение. Согласно формуле (41), плотность распределения указанной случайной величины является ненулевой и равной 0,25 на интервале (1, 5). По формулам (39) и (40) последовательно вычисляем при а = 1 и b = 4:

М (X) = x 0,25 dx =

.

Общим нормальным распределением вероятностей непрерывной случайной величины X называется распределение с плотностью

(42)

График плотности нормального распределения для разных значений σ показан на рис.

Рис. 2

График плотности нормального распределения для разных значений σ

Нормальное распределение задается двумя параметрами: а и σ. По определениям математического ожидания и дисперсии после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нормального распределения справедливы формулы

М (Х) = а, D (X) = σ², σ (X) = σ. (43)

Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1 называется нормированным

Плотность вероятности нормированного распределения равна

(44)

Для случая нормированного нормального распределения интегральная функция распределения имеет вид

F (x) = f (z) dz = dz (45)

Поскольку функция (44) является четной, то неопределенный интеграл от нее является нечетным, и вместо него используется функция Лапласа, часто обозначаемая как N (0, 1)

Ф (x) = dz. (46)

Функции (44) и (46) табулированы (см. приложение 2).

Приведем еще две важные характеристики.

Модой M₀ (X) называется возможное значение случайной величины X, при котором плотность распределения имеет максимум.

Медианой М₀ (X) называется такое возможное значение случайной величины X, что вертикальная прямая х = М₀ (X) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.

Пример 11. Магазин продает мужские костюмы. По данным статистики известно, что распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными 48 и 2 соответственно. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49,51).

Решение. По условию задачи а = 48, σ = 2, α = 49, β = 51. Используя формулу (34), получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале

Р(49<X<50)=Ф((51–18)/2)–Ф((49–48)/2)=Ф (1,5) – Ф (0,5) =

=0,4332 – 0,1915 = 0,2417

Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24 %, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

Распределение χ² Пирсона

Пусть Х₁, Х₂, ..., Х_n — нормально распределенные независимые случайные величины с параметрами а = 0 и σ = 1. Тогда сумма их квадратов

χ² = (47)

называется χ²-распределением с n степенями свободы.

Доказано, чти плотность этого распределения определяется формулой

, (48)

где Г (х) = — гамма-функция.

Распределение χ² определяется только одним параметром — числом степеней свободы п. Графики функции (48) для разных п показаны па рис.

Рис. 3

Графики функции (48) для разных п

Распределение Стьюдента

Пусть Z— нормальная случайная величнна с параметрами а = 0 и σ = 1, a Y — независимая от Z величина, распределенная по закону χ² с п степенями свободы. Тогда случайная величина, распределенная по закону

(49)

называется распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета) с n степенями свободы.

Плотность этого распределения дается формулой

. (50)

С возрастанием п распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному (рис.).

Рис. 4

Распределение Стьюдента

Распределение Фишера

Пусть U и V — независимые случайные величины, распределенные по закону χ² со степенями свободы т и п соответственно. Тогда величину, распределенную по закону

(51)

называют распределением Фишера со степенями свободы т и п.

Плотность этого распределения дается формулой

(52)

Упражнения