2.4 Задача 4

;

Подставим значения t в интервале от до , составим таблицу (таблица 2):

t
x	0,4	2,5	6,3	10,1	12,2	12,6	13	15	18,8	22,8	24,8
y	1	3	4	3	1	0	1	3	4	3	1

Таблица 2

Строим график функций (рисунок 8)

Рисунок 8

Найдем площадь (S) заштрихованной на рисунке 8 фигуры.

Для этого, сначала найдем производную от x(t):

(2(t - sint))’=2(1 - cost).

После этого можно найти S:

(ед²);

Ответ: (ед²).

2.5 Задача 5

Прировняем оба , чтобы найти , при которых графики пересекаются:

, ;

Рассмотрим по отдельности функции и :

- окружность с центром О(0;0) и радиусом 1, т.к. .

- окружность с центром С(1;0) и радиусом 1, т.к. .

Построим графики (рисунок 9)

Рисунок 9

Найдем площадь (S) заштрихованной фигуры на рисунке 9:

(ед²);

Ответ: (ед²).

2.6 Задача 6

Рассмотрим функцию :

При :

.

При

.

Построим график заданной функции (рисунок 10):

Рисунок 10

Найдем площадь заштрихованной на рисунке 10 фигуры:

(ед²);

Ответ: (ед²).

2.7 Задача 7

Для начала найдем производную от x и y:

; .

Найдем длину дуги ( ):

(ед);

Ответ: (ед).

2.8 Задача 8

Построим графики функций по координатам, составив таблицу для каждой:

x	0
y	5	0	-5

x	0
y	1	0	-1

Построим графики функций по найденным координатам (рисунок 11):

Рисунок 11

Найдем объем (V) фигуры, которая получится при вращении вокруг Ox фигуры, заштрихованной на рисунке 11:

(ед³);

Ответ: (ед³).

2.9 Задача 9

Для начала найдем производную от x и y:

; .

Найдем площадь поверхности вращения:

(ед²);

Ответ: (ед²).

2.10 Задача 10

Пусть n = 6, тогда ; Вычислим погрешность :

;

;

;

;

Приравниваем к нулю:

,

откуда получаем: , .

Теперь найдем значение четвертой производной в точках 0 и 1:

При x=0 4-ая производная принимает значение 3, а при x=1 - 4-ая производная принимает значение , следовательно, в формулу вычисления погрешности запишем M =3.

Запишем теперь :

.

Найдем значения f(x ), подставляя x в , составим таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6
x	0	1/6	1/3	1/2	2/3	5/6	1
f(x)	1	e^-1/72= 0,98630	e^-1/18= 0,94632	e^-1/8= 0,88324	e^-2/9= 0,80194	e^-25/72= 0,70831	e^-1/2= 0,60858

Теперь запишем:

1/18*((1 + 0,60858) + 4*(0,98630 + 0,88324 + 0,70831) + 2*(0,94632 + 0,80194)) + 0,00001 = 0,05555*(1,60858 + 10,31140 + 3,49652) + 0,00001 = 0,85639 + 0,00001 = 0,85640

Ответ: 0,85640