Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [22]

нпулпчулйк зпухдбтуфчеоощк хойчетуйфеф ЙНЕОЙ н.ч. мпнпопупчб

нЕИБОЙЛП-НБФЕНБФЙЮЕУЛЙК ЖБЛХМШФЕФ лБЖЕДТБ ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК НБФЕНБФЙЛЙ

л.а. вПЗБЮЕЧ

рТБЛФЙЛХН ОБ ьчн. нЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН Й ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

нПУЛЧБ 1998 ЗПД

упдетцбойе	2

уПДЕТЦБОЙЕ

ртедйумпчйе : : : : : : : : : : : : : :					:	: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	6
зМБЧБ I. фпюоще нефпдщ теыеойс мйоекощи уй-
	óôåí : : : : : : : : : : : :		: :	: : :	:	: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	7
x1.	нбфтйюоще оптнщ : :		: :	: : :	:	: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	7
x2.	пвтбфйнпуфш нбфтйгщ, вмйълпк л пвтбфйнпк нб-
	фтйге : : : : : : : : : : : : : : : : : :					: : : : : : :	: : : : : : : : : :		12
x3.	пыйвлй ч теыеойси мйоекощи уйуфен : : : : :							: : : :	12
x4.	нефпд збхууб : : : : : :		: :	: : :	:	: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	15
	x4.1.	бМЗПТЙФН НЕФПДБ зБХУУБ		: :	:	: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	15
	x4.2.	пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч НЕФПДЕ зБХУУБ 17
	x4.3.	рТЕДУФБЧМЕОЙЕ НЕФПДБ зБХУУБ				Ч ЧЙДЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ
		ЬМЕНЕОФБТОЩИ РТЕПВТБЪПЧБОЙК : : : : : : :					: : : : : : : : : :		18
	x4.4.	бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС : :					: : : : : :	: : : :	19
	x4.5.	пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ
		РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС			:	: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	21
x5.	x4.6.	пУХЭЕУФЧЙНПУФШ НЕФПДБ зБХУУБ				: : : : : :	: : : : : :	: : : :	21
	нефпдщ рпумедпчбфемшопзп йулмаюеойс оейъчеуф-
	ощи дмс меофпюощи нбфтйг					: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	22
	x5.1.	нЕФПД зБХУУБ ДМС МЕОФПЮОЩИ НБФТЙГ : : :					: : : : : :	: : : :	22
	x5.2.	бМЗПТЙФН LU -ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ :							23
x6.	x5.3.	нЕФПД РТПЗПОЛЙ ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ : : :						: : : :	24
	ъбдбюб пвтбэеойс нбфтйгщ					: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	26
x7.	нефпд збхууб у чщвптпн змбчопзп ьменеофб :							: : : :	27
x8.	нефпд цптдбоб (збхууб-цптдбоб) : : :						: : : : : :	: : : :	31
x9.	рпмпцйфемшоп пртедемеооще нбфтйгщ : : : :							: : : :	33
x10.	нефпд ипмеглпзп (лчбдтбфопзп лптос)						: : : : :	: : : :	35
	x10.1.	тБЪМПЦЕОЙЕ иПМЕГЛПЗП		: : :	:	: : : : : : :	: : : : : :	: : : :	35
	x10.2.	бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП : : : :						: : : :	36
	x10.3.	пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ
		РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП : : : :					: : : : : :	: : : :	39

упдетцбойе					3
	x11. нефпд птфпзпобмйъбгйй : : : : : : : : : : : : :			: : : : : : :	39
	x12. нефпд чтбэеойк : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :				43
	x12.1.	нБФТЙГБ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС Й ЕЕ УЧПКУФЧБ		: : : : : :	43
	x12.2.	бМЗПТЙФН НЕФПДБ ЧТБЭЕОЙК : : : : : : : : : : :		: : : : : : :	46
	x12.3.	пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч НЕФПДЕ ЧТБ-
		ЭЕОЙК : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :		: : : : : : :	48
	x12.4.	рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ЧТБЭЕОЙК : : : : : : :			50
	x12.5.	пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ
		РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ЧТБЭЕОЙК : : : : : : :			51
	x13. нефпд пфтбцеойк : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :				52
	x13.1.	нБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС Й ЕЕ УЧПКУФЧБ : : : : : : : : : : : : : : :			53
	x13.2.	бМЗПТЙФН НЕФПДБ ПФТБЦЕОЙК : : : : : : : : : : : : : : : : : :			55
	x13.3.	пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч НЕФПДЕ ПФ-
		ТБЦЕОЙК : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :			58
	x13.4.	рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК : : : : : :			59
	x13.5.	пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ
		РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК : : : : : :			61
	x14. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх
	хойфбтощн рпдпвйен нефпдпн чтбэеойк : : : : : : :				62
	x14.1.	уМХЮБК РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ	: : : : : : : : :	: : : : : : :	62
	x14.2.	уМХЮБК УЙННЕФТЙЮОПК НБФТЙГЩ	: : : : : : : : :	: : : : : : :	67
	x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх
хойфбтощн рпдпвйен нефпдпн пфтбцеойк : : : : : :					71
	x15.1.	уМХЮБК РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ	: : : : : : : : :	: : : : : : :	71
	x15.2.	уМХЮБК УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ : : : : : : :		: : : : : : :	75
зМБЧБ II. нефпдщ обипцдеойс упвуфчеоощи ъобюе-
îéê : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :					79
	x1. фпюоще й йфетбгйпооще нефпдщ : : : : : : :			: : : : : : :	79
	x2. мплбмйъбгйс упвуфчеоощи ъобюеойк : : :			: : : : : : :	80
	x3. пыйвлй ртй обипцдеойй упвуфчеоощи ъобюеойк :				82
	x4. уфереоопк нефпд : : : : : : : : : : : : : : : : : : :			: : : : : : :	83
	x4.1.	пРЙУБОЙЕ БМЗПТЙФНБ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :			83
	x4.2.	пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОБ ПДЙО ЫБЗ
		БМЗПТЙФНБ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :			85
	x5. нефпд чтбэеойк слпвй : : : : : : : : : : : : : :			: : : : : : :	85
	x5.1.	пРЙУБОЙЕ БМЗПТЙФНБ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :			85
	x5.2.	чЩВПТ ХЗМБ ЧТБЭЕОЙС : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :			87
	x5.3.	уФТБФЕЗЙЙ ЧЩВПТБ ПВОХМСЕНПЗП ЬМЕНЕОФБ : : : :		: : : : : : :	89

упдетцбойе	4

x6.

x7.

x5.3.1.	нЕФПД ЧТБЭЕОЙК У ЧЩВПТПН НБЛУЙНБМШОПЗП ЬМЕНЕОФБ 90
x5.3.2. нЕФПД ЧТБЭЕОЙК У ГЙЛМЙЮЕУЛЙН ЧЩВПТПН ПВОХМСЕ-
	НПЗП ЬМЕНЕОФБ	: :	: : :	: : : : : : : : : : : : : : : :	91
x5.3.3. нЕФПД ЧТБЭЕОЙК У ЧЩВПТПН ПРФЙНБМШОПЗП ЬМЕНЕОФБ					92
нефпд вйуелгйй : : : : : : : :			: : : : : : : : : : : : : : : : : : :		93
x6.1. бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС k -ЗП РП ЧЕМЙЮЙОЕ УПВУФЧЕООПЗП ЪОБ-
ЮЕОЙС НЕФПДПН ВЙУЕЛГЙЙ		:	: : : : : : : : : : : : : : : : : : :		94
x6.2. бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧУЕИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ОБ ЪБДБО-
ОПН ЙОФЕТЧБМЕ НЕФПДПН ВЙУЕЛГЙЙ				: : : : : : : : : : : : : : :	94
x6.2.1.	тЕЛХТУЙЧОЩК БМЗПТЙФН			: : : : : : : : : : : : : : : :	94
x6.2.2.	бМЗПТЙФН РПУМЕДПЧБФЕМШОПЗП РПЙУЛБ УПВУФЧЕООЩИ
	ЪОБЮЕОЙК : : :	: :	: : :	: : : : : : : : : : : : : : : :	95
x6.3. бМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧУЕИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК НЕФПДПН
ВЙУЕЛГЙЙ : : : : : : : : : :			: : : : : : : : : : : : : : : : : : :		95

x6.4. чЩЮЙУМЕОЙЕ ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95

x6.4.1. чЩЮЙУМЕОЙЕ ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ У РПНПЭША LU -ТБЪМПЦЕОЙС 96

x6.4.2. чЩЮЙУМЕОЙЕ ЮЙУМБ РЕТЕНЕО ЪОБЛБ Ч РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ ЗМБЧОЩИ НЙОПТПЧ У РПНПЭША ТЕЛЛХТЕОФОЩИ

		ЖПТНХМ	: : : : : : : : : :	:	: :		: : : : : : : : : : : :			96
LR бмзптйфн : : : :			: : : : : : : : : :	:	:	:	:	: : : :	: : : : : : :	98
x7.1.	LR-ТБЪМПЦЕОЙЕ, ЙУРПМШЪХЕНПЕ Ч LR БМЗПТЙФНЕ : : : : : : :									98
	x7.1.1.	бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РТПЙЪ-
		ЧПМШОПК НБФТЙГЩ : : : :		:	:	:	:	: : : : : : : : : : :		98
	x7.1.2.	бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РПЮФЙ
		ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ : :		:	: :		: : : : : : : : : : : :			100
	x7.1.3.	бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС LR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИ-
		ДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ :		:	:	:	:	: : : : : : : : : : :		101
x7.2.	LR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК : : : : : :									101
	x7.2.1.	LR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК
		ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ						: : : : : : : : : :		102
	x7.2.2.	LR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК
		ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ : : : : : : : : : : :								103
x7.3.	хУЛПТЕОЙЕ УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНБ			:	:	:	:	: : : : : : : : : : :		104
	x7.3.1. йУЮЕТРЩЧБОЙЕ НБФТЙГЩ :			:	: :		: : : : : : : : : : : :			105
	x7.3.2.	уДЧЙЗЙ	: : : : : : : : : :	:	:	:	:	: : : : : : : : : : :		106
	x7.3.3.	рТБЛФЙЮЕУЛБС ПТЗБОЙЪБГЙС ЧЩЮЙУМЕОЙК Ч LR ÁÌ-
		ЗПТЙФНЕ : : : : : : : : : :		:	:	:	:	: : : : : : : : : : :		106

упдетцбойе	5

x8.

x9.

нефпд ипмеглпзп : : : : : : : : : : : : :

: : : :

:

: :

:

:

: : : :

107

x8.1. тБЪМПЦЕОЙЕ иПМЕГЛПЗП, ЙУРПМШЪХЕНПЕ Ч НЕФПДЕ иПМЕГЛПЗП :

107

x8.1.1. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП ДМС

РТПЙЪЧПМШОПК УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ

:

:

:

:

:

107

x8.1.2. бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС иПМЕГЛПЗП ДМС

ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ

: :

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

109

x8.2. нЕФПД иПМЕГЛПЗП ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК :

:

:

:

110

x8.2.1. нЕФПД иПМЕГЛПЗП ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕ-

ОЙК ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ

:

:

:

:

:

:

:

:

111

x8.3.

хУЛПТЕОЙЕ УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНБ

:

:

: :

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

112

x8.3.1.

йУЮЕТРЩЧБОЙЕ НБФТЙГЩ : : :

: : : :

:

: :

:

:

: : : :

112

x8.3.2.

уДЧЙЗЙ :

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

: :

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

113

x8.3.3. рТБЛФЙЮЕУЛБС ПТЗБОЙЪБГЙС ЧЩЮЙУМЕОЙК Ч НЕФПДЕ

иПМЕГЛПЗП

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

: : : :

:

: :

:

:

: : : :

113

QR бмзптйфн : : : : :

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

: :

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

114

x9.1.

QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ, ЙУРПМШЪХЕНПЕ Ч QR БМЗПТЙФНЕ

: : : : : :

114

x9.1.1.

бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РТПЙЪ-

ЧПМШОПК НБФТЙГЩ

:

:

:

:

:

:

: :

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

114

x9.1.2.

бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС РПЮФЙ

ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ : : : :

: : : :

:

: :

:

:

: : : :

114

x9.1.3.

бМЗПТЙФН РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИ-

ДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ

:

:

:

: :

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

120

x9.2.

QR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

: : : : : :

124

x9.2.1.

QR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

ДМС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЩ

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

125

x9.2.2.

QR БМЗПТЙФН ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК НБФТЙГЩ

126

x9.3. хУЛПТЕОЙЕ УИПДЙНПУФЙ БМЗПТЙФНБ : : : : : : : : : : : : : : :		129
x9.3.1. йУЮЕТРЩЧБОЙЕ НБФТЙГЩ : : : : : : : : : : : : : : : :		129
x9.3.2.	уДЧЙЗЙ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :	129
x9.3.3.	рТБЛФЙЮЕУЛБС ПТЗБОЙЪБГЙС ЧЩЮЙУМЕОЙК Ч QR ÁÌ-
	ЗПТЙФНЕ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :	130
x10. нефпд пвтбфопк йфетбгйй обипцдеойс упвуфчео-
ощи челфптпч : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :		130
ртпзтбннб лхтуб : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :		133
мйфетбфхтб : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :		137

ÐÒÉ n 5.

фЕПТЕНБ 1.

чУЕ ПРЙУБООЩЕ ЧЩЫЕ НЕФПДЩ СЧМСАФУС ФПЮОЩНЙ.

79

зМБЧБ II.

нефпдщ обипцдеойс упвуфчеоощи ъобюеойк

x 1. фпюоще й йфетбгйпооще нефпдщ

пРТЕДЕМЕОЙЕ. нЕФПД ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ ОБЪЩЧБЕФУС ФПЮОЩН, ЕУМЙ РТЙ ПФУХФУФЧЙЙ ПЛТХЗМЕОЙК ФПЮОПЕ ТЕЫЕОЙЕ УЙУФЕНЩ ОБИПДЙФУС ЬФЙН НЕФПДПН ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК (ОБРТЙНЕТ, ДМС НЕФПДБ зБХУУБ ЬФП

23 n3 + O(n2)).

оБ ТЕБМШОПК ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК НБЫЙОЕ ФПЮОЩК НЕФПД ДБЕФ ОЕЛПФПТПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ Л ФПЮОПНХ ТЕЫЕОЙА УЙУФЕНЩ. нЕТБ ВМЙЪПУФЙ ПГЕОЕОБ Ч x I.3.

пРТЕДЕМЕОЙЕ. нЕФПД ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ ОБЪЩЧБЕФУС ЙФЕТБГЙПООЩН, ЕУМЙ ПО УПУФПЙФ Ч ЧЩЮЙУМЕОЙЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ fxkg, УИПДСЭЕКУС Л ФПЮОПНХ ТЕЫЕОЙА: xk ! x ÐÒÉ k ! 1. йФЕТБГЙПООЩК НЕФПД ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДБЕФ ФПМШЛП ОЕЛПФПТПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ xk0 Л ФПЮОПНХ ТЕЫЕОЙА.

фЕПТЙС ЙФЕТБГЙПООЩИ НЕФПДПЧ ВХДЕФ ЙЪМПЦЕОБ Ч ЛХТУЕ "юЙУМЕООЩЕ НЕФПДЩ". пРТЕДЕМЕОЙЕ. нЕФПД ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ОБЪЩЧБЕФУС ЙФЕТБГЙПООЩН, ЕУМЙ ПО УПУФПЙФ Ч ЧЩЮЙУМЕОЙЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ f kg, УИПДСЭЕКУС Л ФПЮОПНХ УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА: k ! ÐÒÉ k ! 1. йФЕТБГЙПООЩК НЕФПД ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДБЕФ ФПМШЛП ОЕЛПФПТПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ

k0 Л ФПЮОПНХ УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА.

(вЕЪ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ.) оЕ НПЦЕФ УХЭЕУФЧПЧБФШ ФПЮОПЗП НЕФПДБ ОБИПЦДЕОЙС ЧУЕИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ A 2 Mn ÐÒÉ n 5. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОЕМШЪС ОБКФЙ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ A 2 Mn

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x2. мплбмйъбгйс упвуфчеоощи ъобюеойк			80
x 2. мплбмйъбгйс упвуфчеоощи ъобюеойк
дМС НБФТЙГЩ A 2 Mn ПВПЪОБЮЙН
	n
Ri0(A) =	X
	j=1 j	j
	j6=i

(A) = f 1 : : : ng { НОПЦЕУФЧП УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК.

фЕПТЕНБ 1 (зЕТЫЗПТЙО). дМС ЧУСЛПК НБФТЙГЩ A 2 Mn				УРТБЧЕДМЙЧП УП-
ПФОПЫЕОЙЕ:	n
(A)	[	fz 2 Cn :	jz ; aiij Ri0(A)g :	(1)
	i=1

лТПНЕ ФПЗП, ЕУМЙ ПВЯЕДЙОЕОЙЕ k, 1 k n ЙЪ ЬФЙИ ЛТХЗПЧ ЕУФШ УЧСЪОБС ПВМБУФШ, ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭБСУС У ПУФБМШОЩНЙ n ; k ЛТХЗБНЙ, ФП Ч ОЕК ОБИПДЙФУС ТПЧОП k УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК НБФТЙГЩ A.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рХУФШ { УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ НБФТЙГЩ A É x =

(x1 : : : xn) = 0 { УППФЧЕФУФЧХАЭЙК УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ: Ax = x. пВПЪОБЮЙН
j	xp	j	= maxi=16	j	xi	= 0. ôÁË ËÁË Ax = x, ÔÏ
						j 6
								n
						xp = ( x)p = (Ax)p = apjxj
								j=1
								X
É							n
						xp( ; app) = apjxj
							j=1
							X
							j6=p

уМЕДПЧБФЕМШОП,

	n		n
jxpjj ; appj	X	japjjjxjj jxpj	X	japjj
	j=1		j=1
	j=6 p		j6=p

É

n

j ; appj jX=1 japjj:

j6=p

фБЛЙН ПВТБЪПН, УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ 2 (A) РТЙОБДМЕЦЙФ ПВЯЕДЙОЕОЙА ЛТХЗПЧ Ч (1).

	дПЛБЦЕН ЧФПТПЕ ХФЧЕТЦДЕОЙЕ ФЕПТЕНЩ. рПМПЦЙН					A = D + B , ÇÄÅ D =
diag(a11 : : : ann)		2	Mn , B = A	;	DS A" = D + "B ,	" > 0. фПЗДБ R0	(A") =
0	0					i

Ri("B) = "Ri(A). вЕЪ ПЗТБОЙЮЕОЙС ПВЭОПУФЙ НЩ НПЦЕН УЮЙФБФШ ЮФП РЕТЧЩЕ k

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x2. мплбмйъбгйс упвуфчеоощи ъобюеойк	81

ЛТХЗПЧ Ч (1) ПВТБЪХАФ УЧСЪОХА ПВМБУФШ, ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭХАУС У ПУФБМШОЩНЙ n ; k ЛТХЗБНЙ. пВПЪОБЮЙН

k

Gk(A) =

[n

fz 2

Cn : jz ; aiij Ri0(A)g

i=1

Gn;k(A) =

[

fz

2 Cn : jz ; aiij Ri0(A)g

i=k+1

РТЙЮЕН РП ХУМПЧЙА

Gk(A) \ Gn;k(A) =

:

(2)

тБУУНПФТЙН ЧЧЕДЕООЩЕ НОПЦЕУФЧБ ДМС НБФТЙГЩ

A" :

k

Gk(A") =

[n

z

2

Cn :

j

z

;

aii

j

"R0(A)

g

i=1 f

i

Gn;k(A") =

[

Cn

:

"Ri0

(A)

i=k+1 f

z

2

j

z

;

aii

j

g

:

фПЗДБ ДМС ЧУЕИ " 2 [0 1]

Gk(A") Gk(A1) = Gk(A)

Gn;k(A") Gn;k(A1) = Gn;k(A):

(3)

РТЙЮЕН НОПЦЕУФЧП Gk(A1)

=

Gk(A) УЧСЪОП

ÐÏ

ХУМПЧЙА. ч УЙМХ

(2), (3)

T

Gn;k(A") = ÄÌÑ ×ÓÅÈ " 2

f

g

Gk(A")

[0 1]. пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ i(A") i-Е УПВУФЧЕО-

ОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ НБФТЙГЩ A" , (A") =

1(A") : : : n(A") { УРЕЛФТ НБФТЙГЩ A" .

рП РПУФТПЕОЙА i(A1) = i(A) = i , i(A0) = aii .

уПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ i(A") НБФТЙГЩ A" СЧМСЕФУС ЛПТОЕН ИБТБЛФЕТЙУФЙЮЕУЛПЗП НОПЗПЮМЕОБ ЬФПК НБФТЙГЩ. лПТОЙ НОПЗПЮМЕОБ СЧМСАФУС ОЕРТЕТЩЧОЩНЙ ЖХОЛГЙСНЙ ЕЗП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ. уМЕДПЧБФЕМШОП, УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС i(A") НБФТЙГЩ A" СЧМСАФУС ОЕРТЕТЩЧОЩНЙ ЖХОЛГЙСНЙ ЬМЕНЕОФПЧ ЬФПК НБФТЙГЩ, ЛПФПТЩЕ, Ч УЧПА ПЮЕТЕДШ, СЧМСАФУС ОЕРТЕТЩЧОЩНЙ ЖХОГЙСНЙ РБТБНЕФТБ ". фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛБЛ ЛПНРПЪЙГЙЙ ОЕРТЕТЩЧОЩИ ЖХОЛГЙК, УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС i(A")

НБФТЙГЩ A" СЧМСАФУС ОЕРТЕТЩЧОЩНЙ ЖХОГЙСНЙ РБТБНЕФТБ ".		S
рП ДПЛБЪБООПНХ РЕТЧПНХ ХФЧЕТЦДЕОЙА ФЕПТЕНЩ (A") Gk(A")			Gn;k(A")
ÄÌÑ ×ÓÅÈ " 2 [0 1], Ô.Å.
i(A") 2 Gk(A") [ Gn;k(A"):			(4)
рП ДПЛБЪБООПНХ ЧЩЫЕ	\ Gn;k(A") =
Gk(A")			(5)
ÄÌÑ ×ÓÅÈ " 2 [0 1], РТЙЮЕН i(A1) =	i(A) = i , i(A0) = aii . уМЕДПЧБФЕМШОП,
i(A0) = aii 2 Gk(A0) ÄÌÑ 1 i k	i(A0) = aii 2 Gn;k(A0) ÄÌÑ k + 1 i n:
			(6)

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x3. пыйвлй ртй обипцдеойй упвуфчеоощи ъобюеойк	82

рПУЛПМШЛХ i(A") { ОЕРТЕТЩЧОБС ЖХОЛГЙС Й РТЙОЙНБЕФ ЧУЕ РТПНЕЦХФПЮОЩЕ ЪОБЮЕОЙС, ФП ЙЪ (4), (5), (6) ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП

i(A") 2 Gk(A") ÄÌÑ 1 i k i(A") = aii 2 Gn;k(A") ÄÌÑ k + 1 i n ÄÌÑ ×ÓÅÈ " 2 [0 1]. ðÒÉ " = 1 НЩ РПМХЮБЕН ЧФПТПЕ ХФЧЕЦДЕОЙЕ ФЕПТЕНЩ.

x 3. пыйвлй ртй обипцдеойй упвуфчеоощи ъобюеойк

рХУФШ ОБИПДСФУС УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A 2 Mn рХУФШ { БМЗПТЙФН

ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК, (A) = (A) { РПМХЮЕООЩК ЬФЙН БМЗПТЙФ-

НПН УРЕЛФТ НБФТЙГЩ A. ьФПФ УРЕЛФТbОЕ УПЧРБДБЕФ У ЙУФЙООЩН ЪОБЮЕОЙЕН (A)

УРЕЛФТБ НБФТЙГЩ A, РПУЛПМШЛХ Ч УЙМХ ФЕПТЕНЩ 1.1 ОБКФЙ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБ-

ЮЕОЙС НБФТЙГЩ A ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОЕЧПЪНПЦОП.

пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ A + E НБФТЙГХ, УРЕЛФТПН ЛПФПТПК СЧМСЕФУС ОБВПТ (A), Ô.Å.

(A) = (A + E). пГЕОЙН РПЗТЕЫОПУФШ РТЙ ОБИПЦДЕОЙЙ УПВУФЧЕООЩИ bЪОБЮЕОЙК

(Ô.Å. (A) ; (A)) ЮЕТЕЪ ЧЕМЙЮЙОХ НБФТЙГЩ E .

b

мЕННБ 1. рХУФШ D = diag(

: : :

n

) { ДЙБЗПОБМШОБС НБФТЙГБ, E = (e

ij

)

2

b

1

Mn . фПЗДБ ДМС ЧУСЛПЗП 2 (D + E) { УПВУФЧЕООПЗП ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ D + E ,

УХЭЕУФЧХЕФ = i

2

(D) { УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ НБФТЙГЩ D, ФБЛПЕ, ЮФП

b

E

1

jb ;

j k

k

(ÇÄÅ k k1 { НБЛУЙНБМШОБС УФТПЮОБС ОПТНБ НБФТЙГЩ, УН. УФТ. 9).

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рТЙНЕОСС ФЕПТЕНХ зЕТЫЗПТЙОБ Л НБФТЙГЕ D+E , ОБИПДЙН, ЮФП УХЭЕУФЧХЕФ ФБЛПЕ i, 1 i n, ÞÔÏ

2

8z 2 Cn

: jz ; i

; eiij Ri0(E) =

n

jeijj9

:

>

j=1

>

b

<

X

=

>

j6=i

>

:

ôÁË ËÁË jz ; i ; eiij jz ; ij ; jeiij, ÔÏ

8z

Cn :

n

9 :

2

2

j

z

;

i

j j=1 j

eij

b

<

j=

îÏ

n

:

n

X

j

eij

max

j

eij

j

=

k

E

1:

j=1

j i=1

j=1

k

рПЬФПНХ

X

X

2 f

z

2

Cn

:

j

z

;

i

j k

E

k

1

g

ЮФП ДПЛБЪЩЧБЕФ ХФЧЕТЦДЕОЙЕ МЕННЩ.

b

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

x4. уфереоопк нефпд	83

фЕПТЕНБ 1. рХУФШ A 2 Mn { ДЙБЗПОБМЙЪЙТХЕНБС НБФТЙГБ, Ф.Е. УХЭЕУФЧХ- АФ ОЕЧЩТПЦДЕООБС НБФТЙГБ C Й ДЙБЗПОБМШОБС НБФТЙГБ = diag( 1 : : : n) ФБЛЙЕ, ЮФП A = C C;1 . рХУФШ E = (eij) 2 Mn . фПЗДБ ДМС ЧУСЛПЗП b 2 (A + E) { УПВУФЧЕООПЗП ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ A + E , УХЭЕУФЧХЕФ = i 2 (A) { УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ НБФТЙГЩ A, ФБЛПЕ, ЮФП

jb ; j 1(C)kEk1

ÇÄÅ 1(C) { ЮЙУМП ПВХУМПЧМЕООПУФЙ НБФТЙГЩ C ПФОПУЙФЕМШОП НБЛУЙНБМШОПК УФТПЮОПК ОПТНЩ НБФТЙГЩ (УН. УФТ. 13).

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. нБФТЙГЩ A + E É C;1(A + E)C = + C;1EC РПДПВОЩ Й РПФПНХ ЙНЕАФ ПДЙОБЛПЧЩЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС. ч УЙМХ МЕННЩ 1 ДМС ЧУСЛПЗПb 2 (A + E) = ( + C;1EC) УХЭЕУФЧХЕФ = i 2 ( ) = (A) ФБЛПЕ, ЮФП

jb ; j kC;1ECk1 kC;1k1kEk1kCk1 = 1(C)kEk1:

фЕПТЕНБ ДПЛБЪБОБ.

x 4. уфереоопк нефпд

уФЕРЕООПК НЕФПД РПЪЧПМСЕФ ОБИПДЙФШ НБЛУЙНБМШОПЕ РП НПДХМА УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ Й УППФЧЕФУФЧХАЭЙК ЕНХ УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ ДЙБЗПОБМЙЪЙТХЕНПК НБФТЙГЩ A 2 Mn .

x 4.1. пРЙУБОЙЕ БМЗПТЙФНБ

фЕПТЕНБ 1 (уФЕРЕООПК НЕФПД). рХУФШ НБФТЙГБ A 2 Mn ЙНЕЕФ РПМОХА

УЙУФЕНХ ПТФПОПТНЙТПЧБООЩИ УПВУФЧЕООЩИ ЧЕЛФПТПЧ ei , i = 1 : : : n: Aei = iei ,

(ei ej) = ij , РТЙЮЕН j 1j > j 2j j 3j : : : j n (Ф.Е. ЧЕЛФПТБ ЪБОХНЕТПЧБОЩ Ч РПТСДЛЕ ХВЩЧБОЙС НПДХМС УПВУФЧЕООПЗП ЪОБЮЕОЙС, РТЙЮЕН УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ

У НБЛУЙНБМШОЩН НПДХМЕН { ОЕ ЛТБФОПЕ). фПЗДБ ДМС ЧУСЛПЗП ЧЕЛФПТБ x(0)								2	Cn
6
ФБЛПЗП, ЮФП (x(0) e1) = 0, ЙФЕТБГЙПООЩК РТПГЕУУ
x(k+1) = Ax(k)	(k) =	(x(k+1) x(k))				k = 0 1 : : :			(1)
	1		(x(k) x(k))
УИПДЙФУС Л УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА 1			(УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА У НБЛУЙНБМШ-
ОЩН НПДХМЕН), РТЙЮЕН
1(k) = 1	+ O 0 1		2	k1 (k			)
	@		1	A		! 1
л.а.вПЗБЮЕЧ	нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК